第六章　平面向量及其应用

6.1 平面向量的概念

6.1.1 向量的实际背景与概念

• 在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量（vector），而把只有大小没有方向的量称为数量。

6.1.2 向量的几何表示

• 通常，在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设 A 为起点，B 为终点，我们就说线段 AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段（directed line segment）。
  通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。
  以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 $\overrightarrow{AB}$，线段 AB 的长度也叫做有向线段$\overrightarrow{AB}$的长度，记作 $|\overrightarrow{AB}|$
• 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。向量可以用有向线段$\overrightarrow{AB}$来表示。
• 向量$\overrightarrow{AB}$的大小称为向量$\overrightarrow{AB}$的长度（或称模），记作 $|\overrightarrow{AB}|$
• 提示：以下内容中用粗体 $\textbf{a}$ 来表示向量 $\overrightarrow{a}$
• 长度为 0 的向量叫做零向量（zero vector），记作 $\textbf{0}$，或 $\overrightarrow{0}$
• 长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量（unit vector）

6.1.3 相等向量与共线向量

• 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vector）
• 我们规定：零向量与任意向量平行
• 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）
• 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定。
• 任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）

6.2 平面向量的运算

6.2.1 向量的加法运算

• 求两个向量和的运算，叫做向量的加法
• 向量加法的三角形法则、平行四边形法则
• 对于零向量与任意向量 $\textbf{a}$ ，我们规定 $\textbf{a}+\textbf{0}=\textbf{0}+\textbf{a}=\textbf{a}$
• 一般地，我们有 $|\textbf{a}+\textbf{b}|\leqslant|\textbf{a}|+|\textbf{b}|$，当且仅当 $\textbf{a, b}$ 方向相同时等号成立。
• 向量的加法满足交换律和结合律

6.2.2 向量的减法运算

• 我们规定，与向量 $\textbf{a}$ 长度相等，方向相反的向量，叫做 $\textbf{a}$ 的相反向量，记作 $-\textbf{a}$。
  $-(-\textbf{a})=\textbf{a}$
  $\textbf{a}+(-\textbf{a})=(-\textbf{a})+\textbf{a}=\textbf{0}$
• 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。任意向量与其相反向量的和是零向量。
• 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
  向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
• 向量 $\textbf{a}-\textbf{b}$ 可以表示为从向量 $\textbf{b}$ 的终点指向向量 $\textbf{a}$ 的终点的向量，这是向量减法的几何意义。

6.2.3 向量的数乘运算

• 一般地，我们规定实数 λ 与向量 $\textbf{a}$ 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar），记作 $λ\textbf{a}$，它的长度与方向规定如下:
  （1）$|λ\textbf{a}|=|λ||\textbf{a}|$
  （2）当 λ>0 时，$λ\textbf{a}$ 的方向与 $\textbf{a}$ 的方向相同；当 λ<0 时，$λ\textbf{a}$ 的方向与 $\textbf{a}$ 的方向相反。
• 设 λ，μ 为实数，那么
  （1）$λ(μ\textbf{a})=(λμ)\textbf{a}$
  （2）$(λ+μ)\textbf{a}=λ\textbf{a}+μ\textbf{a}$
  （3）$λ(\textbf{a}+\textbf{b})=λ\textbf{a}+λ\textbf{b}$
  特别地，我们有
  $(-λ)\textbf{a}=-(λ\textbf{a})=λ(-\textbf{a})$
  $λ(\textbf{a}-\textbf{b})=λ\textbf{a}-λ\textbf{b}$
• 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是向量。
• 对于任意向量 $\textbf{a}$，$\textbf{b}$，以及任意实数 λ，$μ_{1}$，$μ_{2}$，恒有 $\lambda(\mu_{1}\mathbf{a}\pm\mu_{2}\textbf{b})=\lambda\mu_{1}\mathbf{a}\pm\lambda\mu_{2}\textbf{b})$.
• 实数与向量的积与原向量共线
• 定理：向量 $\textbf{a}(\textbf{a}\neq 0)$ 与 $\textbf{b}$ 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 $\textbf{b}=λ\textbf{a}$

6.2.4 向量的数量积

• 已知两个非零向量 $\textbf{a}$ 与 $\textbf{b}$，它们的夹角为 θ，我们把数量 $|\textbf{a}||\textbf{b}|cos\theta$ 叫做向量 $\textbf{a}$ 与 $\textbf{b}$ 的数量积（或内积（inner product）），记作 $\textbf{a}\bullet\textbf{b}$，即 $\textbf{a}\bullet\textbf{b}=|\textbf{a}||\textbf{b}|cos\theta $
• 零向量与任一向量的数量积为 0.
• 两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。
• 向量 $\textbf{a}$ 向向量 $\textbf{b}$ 投影（project）
  向量 $\textbf{a}$ 在向量 $\textbf{b}$ 上的投影向量
• 设 $\textbf{a}$，$\textbf{b}$ 是非零向量，它们的夹角是 θ，$\textbf{e}$ 是与 $\textbf{b}$ 方向相同的单位向量，则
  （1）$\textbf{a}\bullet\textbf{e}=\textbf{e}\bullet\textbf{a}=|\textbf{a}|cos\theta$
  （2）$\textbf{a}\perp\textbf{b}\Leftrightarrow\textbf{a}\bullet\textbf{b}=0$
  （3）当 $\textbf{a}$ 与 $\textbf{b}$ 同向时，$\textbf{a}\bullet\textbf{b}=|\textbf{a}||\textbf{b}|$；当 $\textbf{a}$ 与 $\textbf{b}$ 反向时，$\textbf{a}\bullet\textbf{b}=-|\textbf{a}||\textbf{b}|$。特别地，$\textbf{a}\bullet\textbf{a}=|\textbf{a}|^{2}|$ 或 $|\textbf{a}|=\sqrt{\textbf{a}\bullet\textbf{a}}$
  （4）$\textbf{a}\bullet\textbf{b}\leqslant|\textbf{a}||\textbf{b}|$
• 对于向量 $\textbf{a}$，$\textbf{b}$，$\textbf{c}$ 和实数 λ，有
  （1）$\textbf{a}\bullet\textbf{b}=\textbf{b}\bullet\textbf{a}$
  （2）$(λ\textbf{a})\bullet\textbf{b}=λ(\textbf{a}\bullet\textbf{b})=\textbf{a}\bullet(λ\textbf{b})$
  （3）$(\textbf{a}+\textbf{b})\bullet\textbf{c}=\textbf{a}\bullet\textbf{c}+\textbf{b}\bullet\textbf{c}$
• 向量没有乘法结合律
• 对于任意向量 $\textbf{a}$，$\textbf{b}$，
  $(\textbf{a}+\textbf{b})^{2}=\textbf{a}^{2}+2\textbf{a}\bullet\textbf{b}+\textbf{b}^{2}$
  $(\textbf{a}+\textbf{b})\bullet(\textbf{a}-\textbf{b})=\textbf{a}^{2}-\textbf{b}^{2}$

6.3 平面向量基本定理及坐标表示

6.3.1 平面向量基本定理

• 如果 $\textbf{e}_{1}$，$\textbf{e}_{2}$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 $\textbf{a}$，有且只有一对实数 $λ_{1},λ_{2}$，使 $\textbf{a}=λ_{1}\textbf{e}_{1}+λ_{2}\textbf{e}_{2}$
• 若 $\textbf{e}_{1}$，$\textbf{e}_{2}$ 不共线，我们把 $\{\textbf{e}_{1}$，$\textbf{e}_{2}\}$ 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）。

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

• 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解
• 对于平面内的任意一个向量 $\textbf{a}$，有且只有一对实数 x，y，使得 $\textbf{a}=x\textbf{i}+y\textbf{j}$，我们把有序数对（x，y）叫做向量 $\textbf{a}$ 的坐标，记作 $\textbf{a}=(x, y)$

6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示

• 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。
  $\textbf{a}+\textbf{b}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$
  $\textbf{a}-\textbf{b}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})$
• 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

• 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
  即 $λ\textbf{a}=(λx,λy)$

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

• 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
  $\textbf{a}\bullet\textbf{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$
  （1）若 $\textbf{a}=(x,y)$，则 $|\textbf{a}|^{2}=x^{2}+y^{2}$，或 $|\textbf{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
  （2）设 $\textbf{a}=(x_{1},y_{1})$，$\textbf{b}=(x_{2},y_{2})$，则 $\textbf{a}\perp\textbf{b}\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0$
• 设 $\textbf{a}$，$\textbf{b}$ 都是非零向量，$\textbf{a}=(x_{1},y_{1})$，$\textbf{b}=(x_{2},y_{2})$，θ 是 $\textbf{a}$ 与 $\textbf{b}$ 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得
  $cos\theta=\frac{\textbf{a}\bullet\textbf{b}}{|\textbf{a}||\textbf{b}|}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x^{2}_{1}+y^{2}_{1}}\sqrt{x^{2}_{2}+y^{2}_{2}}}$

6.4 平面向量的应用

6.4.1 平面几何中的向量方法

• 平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决。
• 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：
  （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
  （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
  （3）把运算结果“翻译”成几何关系。

6.4.2 向量在物理中的应用举例

• 力的分解、速度的合成

6.4.3 余弦定理、正弦定理

1. 余弦定理（law of cosine）
   三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
   $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cosA$
   $b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca cosB$
   $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab cosC$
   $cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$
   $cosB=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}$
   $cosC=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

• 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。
• 解三角形（solving triangles）：一般地，三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做~。

2. 正弦定理（law of sine）
   在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
   $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$
3. 余弦定理、正弦定理应用举例

第七章　复数

7.1 复数的概念

7.1.1 数系的扩充和复数的概念

• 复数（complex number）：我们把形如 $a+bi(a,b\in R)$ 的数叫做~，其中 i 叫做虚数单位（imaginary unit）。
  复数通常用字母 z 表示，即 $z=a+bi(a,b\in R)$
• 复数集（set of complex numbers）：全体复数所构成的集合 $C=\{a+bi|a,b\in R\}$
• 在复数集中任取两个数 $a+bi,c+di(a,b,c,d\in R)$，我们规定：a+bi 与 c+di 相等当且仅当 a=c 且 b=d。
• 对于复数 $a+bi(a,b\in R)$，当且仅当 b=0 时，它是实数；当且仅当 a=b=0 时，它是实数 0；当 b≠0 时，它叫做虚数（imaginary number）；当 a=0 且 b≠0 时，它叫做纯虚数。
• 实数集 R 是复数集 C 的真子集

7.1.2 复数的几何意义

• 复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系。
• 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
  实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
• 复数集 C 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系（实数 0 与零向量对应）。
  向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的模叫做复数 z=a+bi 的模（modulus of a complex number）或绝对值，记作 |z| 或 |a+bi|，即
  $|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，其中 $a,b\in R$.
  如果 b=0，那么 z=a+bi 是一个实数 a，它的模就等于 |a|(a 的绝对值)。
• 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数（conjugate complex number）。
  虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
  复数 z 的共轭复数用 $\overline{z}$ 表示，即如果 $z=a+bi$，那么 $\overline{z}=a-bi$

7.2 复数的四则运算

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

• 我们规定，复数的加法法则如下：设 $z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di(a,b,c,d\in R)$ 是任意两个复数，那么它们的和
  $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
• 对任意 $z_{1},z_{2},z_{3}\in C$，有
  $z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$
  $(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})$
• 复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义。
• 我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即
  $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

7.2.2 复数的乘、除运算

• 我们规定，复数的乘法法则如下： 设 $z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di(a,b,c,d\in R)$ 是任意两个复数，那么它们的积
  $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$
• 对任意 $z_{1},z_{2},z_{3}\in C$，有
  $z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}$
  $(z_{1}z_{2})z_{3}=z_{1}(z_{2}z_{3})$
  $z_{1}(z_{2}+z_{3})=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}$
• 复数的除法法则是：
  $(a+bi)\div(c+di)=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i(a,b,c,d\in R,且 c+di\neq 0)$
• 在复数范围内，实系数一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ 的求根公式为：
  （1）当 $\Delta\geqslant 0$ 时，$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
  （2）当 $\Delta < 0$ 时，$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}i}{2a}$
• 代数基本定理（fundamental theorem of algebra）：任何一个 $n(n\in N^{*})$ 次复系数多项式方程 f（x）=0 至少有一个复数根。

7.3* 复数的三角表示

7.3.1 复数的三角表示式

• 一般地，任何一个复数 z=a+bi 都可以表示成 r（cosθ+isinθ）的形式。其中，r 是复数 z 的模；θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数 z=a+bi 的辐角（argument of a complex number）。
  r（cosθ+isinθ）叫做复数 z=a+bi 的三角表示式，简称三角形式，a+bi 叫做复数的代数表示式，简称代数形式。
• 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π 的整数倍。
  我们规定在 $0\leqslant\theta<2\pi$ 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值（principal value of an argument），通常记作 arg z，即 $0\leqslant arg z<2\pi $
• 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

• 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。
  $r_{1}(cos\theta_{1}+isin\theta_{1})\cdot r_{2}(cos\theta_{2}+isin\theta_{2})=r_{1}r_{2}[cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isin(\theta_{1}+\theta_{2})]$
• 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
  $\frac{r_{1}(cos\theta_{1}+isin\theta_{1})}{r_{2}(cos\theta_{2}+isin\theta_{2})}=\frac{r_{1}}{r_{2}}[cos(\theta_{1}-\theta_{2})+isin(\theta_{1}-\theta_{2})]$
• 复数的乘除运算的几何意义，就是平面向量的旋转、伸缩。
• 1 的 n 次方根
  棣莫弗定理：复数的 $n(n\in N^{*})$ 次幂的模等于这个复数的模的 n 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的 n 倍。
  如果 $z_{1}=z_{2}=\cdot\cdot\cdot=z_{n}=r(cos\theta+isin\theta)$，那么 $[r(cos\theta+isin\theta)]^{n}=r^{n}(cos\,n\theta+isin\,n\theta)$

第八章　立体几何初步

8.1 基本立体图形

• 空间几何体（space geometry）
• 多面体（polyhedron）：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做~
• 旋转体（rotating solid）：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做~。这条定直线叫做旋转体的轴。

1. 棱柱（prism）：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做~。
   直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
   斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱
   正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
   平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
2. 棱锥（pyramid）：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做~
   正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥
3. 棱台（frustum of a pyramid）：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做~
4. 圆柱（circular cylinder）：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做~
5. 圆锥（circular cone）：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做~
6. 圆台（frustum of a cone）：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做~
7. 球（solid sphere）：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做~，简称球。

• 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为椎体，棱台与圆台统称为台体。

8.简单组合体
两种构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。

8.2 立体图形的直观图

• 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形
• 斜二测画法：x、y 轴相交成 45°，平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长度减半。
• 在立体几何中，常用正等测画法画水平放置的圆。

8.3 简单几何体的表面积与体积

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和。
2. 体积：
   $V_{棱柱}=Sh$
   $V_{棱锥}=\frac{1}{3}Sh$
   $V_{棱台}=\frac{1}{3}h(S'+\sqrt{S'S}+S)$

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
   $S_{圆柱}=2\pi r(r+l)$ （r 是底面半径，l 是母线长）
   $S_{圆锥}=\pi r(r+l)$ （r 是底面半径，l 是母线长）
   $S_{圆台}=\pi(r'^{2}+r^{2}+r'l+rl)$ （r'，r 分别是上、下底面半径，l 是母线长）
   $V_{圆柱}=\pi r^{2}h$
   $V_{圆锥}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
   $V_{圆台}=\frac{1}{3}\pi h(r'^{2}+r'r+r^{2})$
2. 球的表面积和体积
   $S_{球}=4\pi R^{2}$
   $V_{球}=\frac{4}{3}\pi R^{3}$

• 祖暅原理：幂势既同，则积不容异。
  夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
  等底面积等高的两个锥体的体积相等。

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1 平面（plane）

• 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。（不共线的三点确定一个平面）
• 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。$A\in l,B\in l,且 A\in \alpha,B\in \alpha \Rightarrow l\subset \alpha$
• 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。$P\in\alpha,且 p\in\beta\Rightarrow \alpha\cap\beta=l,且 P\in l $
• 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
• 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
• 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

1. 空间中直线与直线的位置关系
   异面直线（skew lines）：不同在任何一个平面内的两条直线叫做~
   空间两条直线的位置关系有三种：

   $$ \left\{\begin{array}{l} 共面直线\left\{\begin{array}{l} 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点\\平行直线：在同一平面内，没有公共点 \end{array}\right.\\异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 \end{array}\right. $$

2. 空间中直线与平面的位置关系
   （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
   （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
   （3）直线与平面平行 —— 没有公共点
3. 空间中平面与平面的位置关系
   （1）两个平面平行 —— 没有公共点
   （2）两个平面相交 —— 有一条公共直线
   判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。

8.5 空间直线、平面的平行

8.5.1 直线与直线平行

• 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）
• 定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

8.5.2 直线与平面平行

• 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
• 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。

8.5.3 平面与平面平行

• 两个平面平行 <=> 一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行。
• 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
• 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。

8.6 空间直线、平面的垂直

8.6.1 直线与直线垂直

• 空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线。
• 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线互相垂直。
• 空间两条直线所成角 α 的取值范围是 $0°\leqslant\alpha\leqslant 90°$。

8.6.2 直线与平面垂直

• 一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足。
• 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。
• 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。
• 定理 如果一条直线与一个平面内的两个相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
• 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
• 直线与平面所成的角 θ 的取值范围是 $0°\leqslant θ \leqslant 90°$。
• 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
• 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。

8.6.3 平面与平面垂直

• 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
• 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面。
• 二面角的平面角 α 的取值范围是 $0°\leqslant\alpha\leqslant 180°$。
  平面角是直角的二面角叫做直二面角。
• 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
• 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
• 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。

阅读与思考

• 公理化方法：从尽可能少的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组不加证明的原始命题（公理、公设）出发，通过严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法。
• 基本概念是不加定义的，它们必须是真正基本的，无法用更原始、更基本的概念定义。
• 公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定。
• 公理化方法主要有以下三个作用：
  1.概括整理数学知识
  2.促进新理论的创立
  3.对其他学科有示范作用。

第九章　统计

• 统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学。

9.1 随机抽样

• 对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查（overall survey），又称普查。在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体（population），组成总体的每一个调查对象称为个体（individual）。
• 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查（sampling survey）。我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本（sample），样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量。调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据。

9.1.1 简单随机抽样（simple random sampling）

• 一般地，设一个总体含有 N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取 n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样； 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。
• 实现简单随机抽样的方法比较常用的有抽签法和随机数法。
• 抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要，并不一定是越大越好。
• 一般地，总体中有 N 个个体，它们的变量值分别为 $Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{N}$，则称 $\bar Y=\frac{Y_{1}+Y_{2}+\cdots+Y_{N}}{N}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Y_{i}$ 为总体均值（population mean），又称总体平均数。
• 如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k（k≤N）个，不妨记为 $Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{k}$，其中 $Y_{i}$ 的出现的频数 $f_{i}(i=1,2,\cdots,k)$，则总体均值还可以写成加权平均数的形式 $\bar Y=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}f_{i}Y_{i}$
• 如果从总体中抽取一个容量为 n 的样本，它们的变量值分别为 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{N}$，则称 $\bar y=\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{N}}{y}=\frac{1}{y}\sum_{i=1}^{y}y_{i}$ 为样本均值（sample mean），又称样本平均数。
• 在简单随机抽样中，我们常用样本平均数 $\bar y$ 去估计总体平均数 $\bar Y$。

9.1.2 分层随机抽样

• 抽样调查最核心的问题是样本的代表性。
• 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层。
• 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么成这种样本量的分配方式为比例分配。
  在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数。

9.1.3 获取数据的途径

1. 通过调查获取数据
2. 通过试验获取数据
3. 通过观察获取数据
4. 通过查询获得数据

9.2 用样本估计总体

9.2.1 总体取值规律的估计

1. 求极差：一组数据中最大值与最小值的差
2. 决定组距与组数：合适的组距与组数对发现数据分布的规律有重要意义。
3. 将数据分组：根据组距选择合理区间的最小值和最大值
4. 列频率分布表：分组频数
5. 画频率分布直方图：频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小。

• 扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例
  条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
  折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势

9.2.2 总体百分位数的估计

• 一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）% 的数据大于或等于这个值。

9.2.3 总体集中趋势的估计

• 一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数。

9.2.4 总体离散程度的估计

• 方差（variance）：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i - \overline{x})^2}$ 或 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x^2_i - \overline{x}^2)}$
• 标准差（standard deviation）：$\sqrt[]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i - \overline{x})^2}}$
• 总体方差，总体标准差；样本方差，样本标准差
• 总体方差的加权形式：$S^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}{f_i(Y_i - \overline{Y})^2}$
• 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度。

9.3 统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析

第十章　概率

• 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

10.1 随机事件与概率

10.1.1 有限样本空间与随机事件

• 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（random experiment），简称试验，常用字母 E 表示。它的特点如下：
  （1）试验可以在相同条件下重复进行；
  （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
  （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。
• 我们把随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间（sample space）。
  一般地，我们用 Ω 表示样本空间，用 w 表示样本点。
• 一般地，我们将样本空间 Ω 的子集称为随机事件（random event），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary event）。
• Ω 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以 Ω 总会发生，我们称 Ω 为必然事件。而空集 $\phi$ 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 $\phi$ 为不可能事件。必然事件与不可能事件不具有随机性。
  为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，这样，每个事件都是样本空间 Ω 的一个子集。

10.1.2 事件的关系和运算

• 一般地，若事件 A 发生，则事件 B 一定发生，我们就称事件 B 包含事件 A（或事件 A 包含于事件 B），记作 $B\supseteq A$（或 $A\subseteq B$）。
  特别地，如果事件 B 包含事件 A，事件 A 也包含事件 B，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B
• 一般地，事件 A 与事件 B 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件 A中，或者在事件 B 中，我们称这个事件为事件 A 与事件 B 的并事件（或和事件），记作 $A\cup B$（或 A+B）。
• 一般地，事件 A 与事件 B 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件 A 中，也在事件 B 中，我们称这样的一个事件为事件 A 与事件 B 的交事件（或积事件），记作 $A\cap B$（或AB）。
• 一般地，如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，也就是说 $A\cap B$ 是一个不可能事件，即 $A\cap B=\phi$，则称事件 A 与事件 B 互斥（或互不相容）。
• 一般地，如果事件 A 和事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即 $A\cup B=Ω，且A\cap B=\phi$，那么称事件 A 与事件 B 互为对立。事件 A 的对立事件记为 $\bar A$
  

10.1.3 古典概型

• 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件 A 的概率用 P（A）表示。
• 古典概率模型（classical models of probability）：
  （1）：有限性：样本空间的样本点只有有限个；
  （2）：等可能性：每个样本点发生的可能性相等
• 一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 $P(A)=\frac{k}{n}=\frac{n(A)}{n(Ω)}$，其中，n（A）和 n（Ω）分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数。

10.1.4 概率的基本性质

• 性质1 对任意的事件 A，都有 $P(A)\geqslant 0$
• 性质2 必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0，即 $P(\Omega)=1,P(Ø)=0$
• 性质3 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
• 性质4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P（B）=1-P（A），P（A）=1-P（B）
• 性质5 如果 $A\subseteq B$，那么 $P(A)\leqslant P(B)$
• 性质6 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

10.2 事件的相互独立性

• 对任意两个事件 A 与 B，如果 P（AB）=P（A）P（B）成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立（mutually independent），简称独立。

10.3 频率与概率

10.3.1 频率的稳定性

• 一般地，随着试验次数 n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A 发生的频率 $f_n(A)$ 会逐渐稳定于事件 A 发生的概率 P（A）。我们称频率的这个性质为频率的稳定性。

10.3.2 随机模拟

• 我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛（Monte Carlo）方法。