一直使用思源笔记编辑数学 markdown 文档，遇到了一些编辑上的麻烦。1、在编辑因式分解里面的 “十字相乘法” 的时候，无法实现中间的那两根交叉线；目前的想法是，先预留好中间的空间，等导出成PDF文件后，再用PDF编辑工具（我用的是UPDF，买了会员，不过这个软件的手写功能太差了，好久之前提了建议还没改）添加上两条交叉的线段；2、需要绘制韦恩Venn图一种方法在用其他软件绘制，保存成图片插入到 markdown 中，不太喜欢外挂的模式；研究了一下，发现思源笔记的 markdown 带有 GraphViz 的绘图功能，不过网上的教程都稀烂。还好有Deep Seek，一边问，一边改，终于成功了。代码如下：digraph Recommended { layout=neato // 图形节点（无标签） node [shape=ellipse, style="solid", fillcolor="none", fixedsize=true, label=""] A [width=2, height=0.8, pos="0,0!"] node [shape=ellipse, style="solid", fillcolor="none", fixedsize=true, label=""] B [width=0.9, height=0.6, pos="0.3,0!"] // 标注节点 node [shape=none, fontsize=18, fillcolor="none"] LabelA [label="A", pos="0.3,0!"] LabelB [label="B", pos="-0.5,0!"] }
感觉对现在的高中数学很陌生，好像和自己当初学的完全不一样了，那就不如再从头学一遍。网上比较流行 B 站的阿不高中数学和一数高中数学，有人说阿不的相对比较基础，那就先从阿不看起来吧，而且阿不有配套800多页的讲义和对应例题，也比较方便。【v1.0】阿不魔法书 · 高中数学，来啦！！：https://mp.weixin.qq.com/s/wiYzNXkLwrlOSLD41FPgLg阿不高中数学：https://www.bilibili.com/video/BV1KN411n7pp一数高中数学：https://www.bilibili.com/video/BV1VD4y1D7UB学习的时候发现视频和讲义里面有些小错误，记录一下：=================讲义==================================视频=================【初高衔接】1.2 对称式、主元思想 例题（12分钟左右）：把 $2a^2$ 写成了 $a^2$；
Ron老师在他的学习交流群推荐了这本书《數學教師不怕被學生難倒了！》，如你所见，繁体中文，简介如下：為配合香港數學教育的發展，並向教師提供更多參考資料，課程發展處數學教育組於 2007 年開始邀請大學學者及資深老師撰寫專文，並蒐集及整理講座資料，輯錄成《數學百子櫃系列》。《數學百子櫃系列》的目录见香港教育局官网：https://www.edb.gov.hk/tc/curriculum-development/kla/ma/res/treasure-trove.html这本书是“数学百子柜系列”的第十四本，目录如下：目錄第一章 數及其運算 1第一節 數系及其擴展 1一、整數 1二、分數 27三、小數 45四、負數 59五、指數與對數 64第二節 數系的結構與性質 81一、數系的擴展與三次數學危機 81二、數系的逐步建立 85三、群、環與域 88第二章 代數 92第一節 符號及其意義 93一、符號概念 94二、符號運算 97第二節 多項式及其運算 99一、數域、一元多項式及多元多項式 100二、餘式定理、最大公因式與因式分解 101三、多項式除法 105第三節 方程、函數與不等式 105一、一元二次方程 105二、方程論的基本認識 113三、函數 115四、不等式 129五、數列 139第三章 圖形與空間 143第一節 圖形 143一、對點、線、面和體的認識 143二、圖形與空間 145三、幾何圖形的本質特徵 146第二節 演繹幾何 162一、公理與定理 162二、《原本》的公理系統 163三、希爾伯特公理系統 166第三節 教學用的公理系統 167一、公理體系的價值 167二、鄰區公理系統 168三、定理的論證：由實驗幾何過渡到論證幾何 169四、幾何變換 171第四節 空間能力 178第四章 測量 180第一節 測量簡介 180一、長度的量度 181二、面積的測量 188三、圓周與圓面積 195四、體積的測量 197五、表面面積 201六、角度 202七、維度 202第二節 國際單位 203一、國際單位制（ SI）的起源 203二、國際單位制（ SI）的內容 204三、單位的冪 207四、角度的單位 209第三節 測量誤差 209一、誤差 209二、誤差的處理 213三、誤差的運算 215第五章 統計與概率 217第一節 統計 217一、統計數據 217二、統計數據展示 222三、統計量 228四、統計誤用 236第二節 概率 245一、對隨機現象的初步探討 245二、古典概型 248三、幾何概型 250第三節 概率與統計的關係 253一、試驗概率和理論概率 253二、概率公理化與建模過程 256国内2012年华中师范大学出版社也出版了本书。《 中华读书报 》（ 2012年09月12日 02 版） 本报讯 在实际教学中，中小学数学教师不时会遇到学生的各种提问。香港中文大学课程与教学学系教授黄毅英的新作《数学教师不怕被学生难倒了》（华中师范大学出版社）帮助广大教师应对教学实际中的数学问题。该书以数学的课程内容为布局，从实际教学中的疑惑出发，将其中涉及的数及其运算、代数、图形与空间、测量、统计与概率等几大数学知识与课堂教学联结在一起，并适当融入一些数学史的知识，重现数学概念或理念的建立过程。其特色是并非立足于数学知识本身，而是从课程出发，展示其中涉及的数学内容，同时整理出中小学数学学习内容的几条主线，具有较强的系统性。书中引用的一些案例均是一线教师在日常教学中遇到的学生实际提问，作者从中引出数学教师所需要知道的数学知识，对教学有实质性帮助。(陈菁霞)相比较而言，看多了国内的许多不同版本的数学课本以及教辅，特别是饱受争议的北师大数学课本，再来看看其他地区的教学资料，一定会有不同感受，得到新的教学内容与方法的启发与借鉴。
这一段时间除了陪娃学习，就是自我学习，网站断更好久了。“鸡娃不如鸡自己”，近期做了很多小学奥数题，还看了一些课外数学书，收获颇多，在如何更好地给孩子讲数学题方面的技能大涨。最近 AMC 8 的比赛，因为某牛校的带动突然火了起来，之前一直没有认真关注这个比赛。美国数学协会关于 AMC 8的内容：https://maa.org/math-competitions/amc-8AMC 8历届题目与解答：https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/AMC_8_Problems_and_Solutions这回找几本书看一下，都说国外的教材写的浅显易懂，循序渐进，发现 OmegaLearn 网站推出的免费 AMC 8 的书籍还不错，学习一下。OmegaLearn 网站：https://www.omegalearn.org/The Mastering AMC 8 book covers the most important concepts on the AMC 8 exam with video lectures for every topic and hundreds of practice problems with video solutions. This includes problems from AMC 8, MATHCOUNTS, BmMT, EMCC, and many original problems.This book covers the following topics:CombinatoricsAlgebraNumber TheoryGeometryAward: The National Museum of Mathematics organizes the Strogatz Prize for Math Communications which awarded an honorable mention to Mastering AMC 8 book.【说明】全文采用百度翻译完成，稍作修改。网站提供的书籍都需要梯子才能下载，有需要可以留言。前言动机本书旨在全面概述 AMC 8 数学竞赛中最重要的概念。这本书包括每一章的视频讲座，每一个主题的公式，以及数百个带有详细视频解决方案的例子和练习题。本书涵盖以下主题：组合代数数论几何学如何使用本书为了充分利用这本书，请在查看答案之前，尽最大努力解决每个问题！即使你没有解决问题，尝试的行为也会帮助你获得关于问题的有用见解，并帮助你发展做题所需的直觉。每一章都包括该主题的相关公式，以及展示该概念有趣应用的指导性示例问题。有些示例在视频中进行了解释，还有一些示例有详细的解释。所提供的解释不仅旨在展示最终答案，还旨在展示找寻答案背后的思考过程。之后，会有练习题部分，其中包括来自 AMC 8、AMC 10/12、MATHCOUNTS、BMT、EMCC，以及 Omega Learn 的许多原题。这些问题有详细的视频解答。还有补充习题部分，提供更多的问题（更难一些）进行额外的练习。希望这本书中精心策划的例子和习题能提高你解决问题的技能，并帮助你在 AMC 8 比赛中表现得更好。祝你好运！Discord 服务器加入我们的Discord Server，讨论书中的问题，并寻求数学竞赛准备方面的帮助。反馈表如果您有任何反馈，发现任何错误，或认为应该添加到此处的任何有趣的问题，请填写此反馈表或发送电子邮件至info@omegalearn.org.书籍更新我们感谢您的反馈，并将通过添加新的主题和问题定期更新本书。请将 OmegaLearn.org 作为书签以获取这本书的最新版本。关于数学竞赛的信息这些视频为刚开始参加数学比赛或参加 AMC 8 等特定比赛的人提供了一些有用的策略。关于从小学到高中的数学竞赛，你需要了解的全部内容如何准备AMC 10/12并获得AIME和USA(J)MO的资格免费掌握AMC 8课程掌握AMC 8课程这是本书附带的视频课程，包括每章的视频讲座。我们将详细解释本书中的所有重要概念，以及许多展示这些概念应用的有用示例。免费AMC 8基础课程AMC 8基础课程这是一个速成课程，涵盖了AMC 8最重要的基本概念。免费AMC 8高级/MATHCOUNTS课程AMC 8高级/MATHCOUNTS课程这是一个速成课程，涵盖了AMC 8上最重要的先进概念。
普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册 知识要点（未完成）
第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector） 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模（modulus） 空间向量用黑体字母 a，b，c，... 表示，书写用 $\overrightarrow{a}$空间向量用有向线段表示，向量 a 也记作 $\overrightarrow{AB}$，其模记为 |a| 或 $|\overrightarrow{a}|$我们规定，长度为 0 的向量叫做零向量（zero vector），记为 0 模为 1 的向量叫做单位向量（unit vector） 与向量 a 长度相等而方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记为 -a如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量（collinear vectors）或平行向量（parallel vectors）。 我们规定：零向量与任意向量平行。方向相同且模相等的向量叫做相等向量（equal vectors）任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。定义空间向量的加法、减法以及数乘运算：空间向量的线性运算满足以下运算律（其中$λ，μ\in R$）： 交换律：a + b = b + a 结合律：（a+b）+c = a+（b+c），λ(μa) = (λμ)a 分配律：(λ+μ)a = λa+μa，λ(a+b) = λa+λb有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变。一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O 为起点，a，b，c 为邻边作平行六面体，则 a，b，c 的和等于以 O 为起点的平行六面体对角线所表示的向量。对任意两个空间向量 a，b（b ≠ 0），a//b 的充要条件是存在实数 λ，使 a = λb我们把与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量（direction vector） 直线可以由其上一点和它的方向向量确定。平行于同一个平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使 p = xa + yb1.1.2 空间向量的数量积运算已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作$\overrightarrow{OA}=\textbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\textbf{b}$，则 $\angle AOB$ 叫做向量 a，b 的夹角，记作 $<\textbf{a},\textbf{b}>$ 通常规定，$0\leqslant <\textbf{a},\textbf{b}>\leqslant \pi$，且 $<\textbf{a},\textbf{b}> = <\textbf{b},\textbf{a}>$如果 $<\textbf{a},\textbf{b}>=\frac{\pi}{2}$，那么向量 a，b互相垂直，记作 $\textbf{a}\perp \textbf{b}$已知两个非零向量 a，b，则 $|\textbf{a}||\textbf{b}|cos<\textbf{a},\textbf{b}>$ 叫做 a，b 的数量积（inner product），记作 $\textbf{a}\bullet \textbf{b}$ 特别地，零向量与任意向量的数量积为 0 $\textbf{a}\perp\textbf{b}\Leftrightarrow\textbf{a}\bullet\textbf{b}=0$ $\textbf{a}\bullet\textbf{a}=|\textbf{a}||\textbf{a}|cos<\textbf{a},\textbf{a}>=|\textbf{a}|^2$空间中向量对向量的投影，可以先将它们平移到同一个平面内，利用平面上向量的投影来计算空间向量的数量积满足以下的运算律： $(\lambda\textbf{a})\bullet\textbf{b} =\lambda(\textbf{a}\bullet\textbf{b}),\lambda\in R$ $\textbf{a}\bullet\textbf{b} =\textbf{b}\bullet\textbf{a}$ 交换律 $(\textbf{a}+\textbf{b})\bullet\textbf{c} =\textbf{a}\bullet\textbf{c}+\textbf{b}\bullet\textbf{c}$ 分配律1.2 空间向量基本定理定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得 p=xa+yb+zc空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底（base）。 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 {i，j，k} 表示。把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.1 空间直角坐标系右手直角坐标系在单位正交基底下与向量对应的有序实数组叫做该点在空间直角坐标系中的坐标，记作 A（x，y，z），其中 x 叫做点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的纵坐标，z 叫做点 A 的竖坐标。向量 a 在空间直角坐标系中的坐标，简记作 a=（x，y，z）在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示。1.3.2 空间向量运算的坐标表示设 $\textbf{a}=(a_1,a_2,a_3),\textbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$，我们有： $\textbf{a+b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$， $\textbf{a-b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3)$ $\lambda\textbf{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3),\lambda\in R$ $\textbf{a}\bullet\textbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的。一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。当 b ≠ 0 时，$\textbf{a}//\textbf{b}\Leftrightarrow\textbf{a}=\lambda\textbf{b}\Leftrightarrow a_1=\lambda b_1,a_2=\lambda b_2,a_3=\lambda b_3(\lambda\in R)$ $\textbf{a}\perp\textbf{b}\Leftrightarrow\textbf{a}\bullet\textbf{b}=0\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0$ $|\textbf{a}|=\sqrt{\textbf{a}\bullet\textbf{a}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ $cos<\textbf{a},\textbf{b}>=\frac{\textbf{a}\bullet\textbf{b}}{|\textbf{a}||\textbf{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$空间两点间的距离公式：$P_1P_2=|\overrightarrow{P_1P_2}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$向量概念的推广和应用：一般地，n 元有序实数组（a1，a2，...，an）称为 n 维向量，它是几何向量的推广。n 维向量的全体构成的集合，赋予相应的结构后，叫做 n 维向量空间。它的每一个元素可看成 n 维向量空间的一点。1.4 空间向量的应用1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系1.空间中点、直线和平面的向量表示空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定平面的法向量2.空间中直线、平面的平行直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量。如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行。两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；反之亦然。直线平行于平面，则这条直线与平面的法向量垂直；反之亦然。平面与平面平行的判定定理：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。直线与平面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。3.空间中直线、平面的垂直一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直。平面与平面垂直的判定定理：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题直线外一点到直线的距离：投影向量、勾股定理一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得。直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角。两个平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90度的二面角称为两个平面的夹角。解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法。综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题。第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率2.1.1 倾斜角与斜率当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角（angle of inclination）当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0°，因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为 0°≤ α < 180°直线 l 的倾斜角 α 与直线 l 上的两点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)(x_1\neq x_2)$ 的坐标有如下关系：$tan \alpha =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$我们把一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率（slope），常用小写字母 k 表示。倾斜角是 90° 的直线没有斜率，倾斜角不是 90° 的直线都有斜率。2.1.2 两条直线平行和垂直的判定两条直线平行，斜率相等；两条直线斜率相等，两直线平行。如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 -1；反之亦然。2.2 直线的方程2.2.1 直线的点斜式方程方程 $y-y_0=k(x-x_0)$ 由直线上一个定点 $(x_0,y_0)$ 及该直线的斜率 k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（point slope form）当直线 l 的倾斜角为 0° 时，直线 l 的方程是 $y=y_0$当直线 l 的倾斜角为 90° 时，直线没有斜率，它的方程为 $x=x_0$我们把方程 y=kx+b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式（slope intercept form），其中 k 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。2.2.2 直线的两点式方程经过两点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)(其中 x_1\neq x_2,y_1\neq y_2)$ 的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）$\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}$方程 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 由直线 l 在两条坐标轴上的截距 a 与 b 确定，我们把方程 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 叫做直线的截距式方程，简称截距式（intercept form）2.2.3 直线的一般式方程我们把关于 x，y 的二元一次方程 Ax+By+C=0 （其中 A，B 不同时为 0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）2.3 直线的交点坐标与距离公式2.3.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标也就是两条直线的方程所组成的方程组的解。2.3.2 两点间的距离公式$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ 两点间的距离公式：$|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$2.3.3 点到直线的距离公式点$P(x_0,y_0)$到直线 l：Ax+By+C=0 的距离$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$2.3.4 两条平行直线间的距离两条平行直线 $Ax+By+C_1=0 与 Ax+By+C_2=0$ 间的距离为$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$2.4 圆的方程2.4.1 圆的标准方程圆心为 A（a，b），半径为 r 的圆的标准方程（standard equation of circle）$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆。三角形外接圆的圆心是三角形的外心，即三角形三边垂直平分线的交点。2.4.2 圆的一般方程一般地，圆的标准方程可以变形为$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$的形式：（1）当$D^2+E^2-4F>0$时，上述方程表示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程（general equation of circle）（2）当$D^2+E^2-4F=0$时，方程只有实数解，它表示一个点；（3）当$D^2+E^2-4F<0$时，方程没有实数解，它不表示任何图形。2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点。判断直线与圆的方程组有无实数解、有几个实数解，来判断两者的位置关系依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系2.5.2 圆与圆的位置关系两个圆之间存在以下三种位置关系：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点。两圆的方程组的实数解的个数确定两圆位置关系依据两圆的圆心距与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系。第三章 圆锥曲线的方程
人教版高中数学必修第二册A版知识要点
第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念6.1.1 向量的实际背景与概念在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量（vector），而把只有大小没有方向的量称为数量。6.1.2 向量的几何表示通常，在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设 A 为起点，B 为终点，我们就说线段 AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段（directed line segment）。通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 $\overrightarrow{AB}$，线段 AB 的长度也叫做有向线段$\overrightarrow{AB}$的长度，记作 $|\overrightarrow{AB}|$有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。向量可以用有向线段$\overrightarrow{AB}$来表示。向量$\overrightarrow{AB}$的大小称为向量$\overrightarrow{AB}$的长度（或称模），记作 $|\overrightarrow{AB}|$提示：以下内容中用粗体 $\textbf{a}$ 来表示向量 $\overrightarrow{a}$长度为 0 的向量叫做零向量（zero vector），记作 $\textbf{0}$，或 $\overrightarrow{0}$长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量（unit vector）6.1.3 相等向量与共线向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vector）我们规定：零向量与任意向量平行长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定。任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）6.2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则、平行四边形法则对于零向量与任意向量 $\textbf{a}$ ，我们规定 $\textbf{a}+\textbf{0}=\textbf{0}+\textbf{a}=\textbf{a}$一般地，我们有 $|\textbf{a}+\textbf{b}|\leqslant|\textbf{a}|+|\textbf{b}|$，当且仅当 $\textbf{a, b}$ 方向相同时等号成立。向量的加法满足交换律和结合律6.2.2 向量的减法运算我们规定，与向量 $\textbf{a}$ 长度相等，方向相反的向量，叫做 $\textbf{a}$ 的相反向量，记作 $-\textbf{a}$。 $-(-\textbf{a})=\textbf{a}$$\textbf{a}+(-\textbf{a})=(-\textbf{a})+\textbf{a}=\textbf{0}$我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。任意向量与其相反向量的和是零向量。求两个向量差的运算叫做向量的减法。 向量的减法可以转化为向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。向量 $\textbf{a}-\textbf{b}$ 可以表示为从向量 $\textbf{b}$ 的终点指向向量 $\textbf{a}$ 的终点的向量，这是向量减法的几何意义。6.2.3 向量的数乘运算一般地，我们规定实数 λ 与向量 $\textbf{a}$ 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（multiplication of vector by scalar），记作 $λ\textbf{a}$，它的长度与方向规定如下: （1）$|λ\textbf{a}|=|λ||\textbf{a}|$ （2）当 λ>0 时，$λ\textbf{a}$ 的方向与 $\textbf{a}$ 的方向相同；当 λ<0 时，$λ\textbf{a}$ 的方向与 $\textbf{a}$ 的方向相反。设 λ，μ 为实数，那么 （1）$λ(μ\textbf{a})=(λμ)\textbf{a}$ （2）$(λ+μ)\textbf{a}=λ\textbf{a}+μ\textbf{a}$ （3）$λ(\textbf{a}+\textbf{b})=λ\textbf{a}+λ\textbf{b}$ 特别地，我们有 $(-λ)\textbf{a}=-(λ\textbf{a})=λ(-\textbf{a})$ $λ(\textbf{a}-\textbf{b})=λ\textbf{a}-λ\textbf{b}$向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是向量。对于任意向量 $\textbf{a}$，$\textbf{b}$，以及任意实数 λ，$μ_{1}$，$μ_{2}$，恒有 $\lambda(\mu_{1}\mathbf{a}\pm\mu_{2}\textbf{b})=\lambda\mu_{1}\mathbf{a}\pm\lambda\mu_{2}\textbf{b})$.实数与向量的积与原向量共线定理：向量 $\textbf{a}(\textbf{a}\neq 0)$ 与 $\textbf{b}$ 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 $\textbf{b}=λ\textbf{a}$6.2.4 向量的数量积已知两个非零向量 $\textbf{a}$ 与 $\textbf{b}$，它们的夹角为 θ，我们把数量 $|\textbf{a}||\textbf{b}|cos\theta$ 叫做向量 $\textbf{a}$ 与 $\textbf{b}$ 的数量积（或内积（inner product）），记作 $\textbf{a}\bullet\textbf{b}$，即 $\textbf{a}\bullet\textbf{b}=|\textbf{a}||\textbf{b}|cos\theta $零向量与任一向量的数量积为 0.两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。向量 $\textbf{a}$ 向向量 $\textbf{b}$ 投影（project） 向量 $\textbf{a}$ 在向量 $\textbf{b}$ 上的投影向量设 $\textbf{a}$，$\textbf{b}$ 是非零向量，它们的夹角是 θ，$\textbf{e}$ 是与 $\textbf{b}$ 方向相同的单位向量，则 （1）$\textbf{a}\bullet\textbf{e}=\textbf{e}\bullet\textbf{a}=|\textbf{a}|cos\theta$ （2）$\textbf{a}\perp\textbf{b}\Leftrightarrow\textbf{a}\bullet\textbf{b}=0$ （3）当 $\textbf{a}$ 与 $\textbf{b}$ 同向时，$\textbf{a}\bullet\textbf{b}=|\textbf{a}||\textbf{b}|$；当 $\textbf{a}$ 与 $\textbf{b}$ 反向时，$\textbf{a}\bullet\textbf{b}=-|\textbf{a}||\textbf{b}|$。特别地，$\textbf{a}\bullet\textbf{a}=|\textbf{a}|^{2}|$ 或 $|\textbf{a}|=\sqrt{\textbf{a}\bullet\textbf{a}}$ （4）$\textbf{a}\bullet\textbf{b}\leqslant|\textbf{a}||\textbf{b}|$对于向量 $\textbf{a}$，$\textbf{b}$，$\textbf{c}$ 和实数 λ，有 （1）$\textbf{a}\bullet\textbf{b}=\textbf{b}\bullet\textbf{a}$ （2）$(λ\textbf{a})\bullet\textbf{b}=λ(\textbf{a}\bullet\textbf{b})=\textbf{a}\bullet(λ\textbf{b})$ （3）$(\textbf{a}+\textbf{b})\bullet\textbf{c}=\textbf{a}\bullet\textbf{c}+\textbf{b}\bullet\textbf{c}$向量没有乘法结合律对于任意向量 $\textbf{a}$，$\textbf{b}$， $(\textbf{a}+\textbf{b})^{2}=\textbf{a}^{2}+2\textbf{a}\bullet\textbf{b}+\textbf{b}^{2}$ $(\textbf{a}+\textbf{b})\bullet(\textbf{a}-\textbf{b})=\textbf{a}^{2}-\textbf{b}^{2}$6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.1 平面向量基本定理如果 $\textbf{e}_{1}$，$\textbf{e}_{2}$ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 $\textbf{a}$，有且只有一对实数 $λ_{1},λ_{2}$，使 $\textbf{a}=λ_{1}\textbf{e}_{1}+λ_{2}\textbf{e}_{2}$若 $\textbf{e}_{1}$，$\textbf{e}_{2}$ 不共线，我们把 $\{\textbf{e}_{1}$，$\textbf{e}_{2}\}$ 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底（base）。6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解对于平面内的任意一个向量 $\textbf{a}$，有且只有一对实数 x，y，使得 $\textbf{a}=x\textbf{i}+y\textbf{j}$，我们把有序数对（x，y）叫做向量 $\textbf{a}$ 的坐标，记作 $\textbf{a}=(x, y)$6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。 $\textbf{a}+\textbf{b}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ $\textbf{a}-\textbf{b}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})$一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 即 $λ\textbf{a}=(λx,λy)$6.3.5 平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。$\textbf{a}\bullet\textbf{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$ （1）若 $\textbf{a}=(x,y)$，则 $|\textbf{a}|^{2}=x^{2}+y^{2}$，或 $|\textbf{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ （2）设 $\textbf{a}=(x_{1},y_{1})$，$\textbf{b}=(x_{2},y_{2})$，则 $\textbf{a}\perp\textbf{b}\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0$设 $\textbf{a}$，$\textbf{b}$ 都是非零向量，$\textbf{a}=(x_{1},y_{1})$，$\textbf{b}=(x_{2},y_{2})$，θ 是 $\textbf{a}$ 与 $\textbf{b}$ 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得 $cos\theta=\frac{\textbf{a}\bullet\textbf{b}}{|\textbf{a}||\textbf{b}|}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x^{2}_{1}+y^{2}_{1}}\sqrt{x^{2}_{2}+y^{2}_{2}}}$6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决。用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。6.4.2 向量在物理中的应用举例力的分解、速度的合成6.4.3 余弦定理、正弦定理余弦定理（law of cosine）三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cosA$ $b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca cosB$ $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab cosC$ $cosA=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ $cosB=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}$ $cosC=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。解三角形（solving triangles）：一般地，三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做~。正弦定理（law of sine）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$余弦定理、正弦定理应用举例第七章 复数7.1 复数的概念7.1.1 数系的扩充和复数的概念复数（complex number）：我们把形如 $a+bi(a,b\in R)$ 的数叫做~，其中 i 叫做虚数单位（imaginary unit）。 复数通常用字母 z 表示，即 $z=a+bi(a,b\in R)$复数集（set of complex numbers）：全体复数所构成的集合 $C=\{a+bi|a,b\in R\}$在复数集中任取两个数 $a+bi,c+di(a,b,c,d\in R)$，我们规定：a+bi 与 c+di 相等当且仅当 a=c 且 b=d。对于复数 $a+bi(a,b\in R)$，当且仅当 b=0 时，它是实数；当且仅当 a=b=0 时，它是实数 0；当 b≠0 时，它叫做虚数（imaginary number）；当 a=0 且 b≠0 时，它叫做纯虚数。实数集 R 是复数集 C 的真子集7.1.2 复数的几何意义复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系。建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数集 C 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系（实数 0 与零向量对应）。向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的模叫做复数 z=a+bi 的模（modulus of a complex number）或绝对值，记作 |z| 或 |a+bi|，即 $|z|=|a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，其中 $a,b\in R$. 如果 b=0，那么 z=a+bi 是一个实数 a，它的模就等于 |a|(a 的绝对值)。一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数（conjugate complex number）。 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 复数 z 的共轭复数用 $\overline{z}$ 表示，即如果 $z=a+bi$，那么 $\overline{z}=a-bi$7.2 复数的四则运算7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义我们规定，复数的加法法则如下：设 $z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di(a,b,c,d\in R)$ 是任意两个复数，那么它们的和 $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$对任意 $z_{1},z_{2},z_{3}\in C$，有 $z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$ $(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})$复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义。我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即 $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$7.2.2 复数的乘、除运算我们规定，复数的乘法法则如下： 设 $z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di(a,b,c,d\in R)$ 是任意两个复数，那么它们的积 $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$对任意 $z_{1},z_{2},z_{3}\in C$，有 $z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}$ $(z_{1}z_{2})z_{3}=z_{1}(z_{2}z_{3})$ $z_{1}(z_{2}+z_{3})=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}$复数的除法法则是： $(a+bi)\div(c+di)=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i(a,b,c,d\in R,且 c+di\neq 0)$在复数范围内，实系数一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ 的求根公式为： （1）当 $\Delta\geqslant 0$ 时，$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ （2）当 $\Delta < 0$ 时，$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}i}{2a}$代数基本定理（fundamental theorem of algebra）：任何一个 $n(n\in N^{*})$ 次复系数多项式方程 f（x）=0 至少有一个复数根。7.3* 复数的三角表示7.3.1 复数的三角表示式一般地，任何一个复数 z=a+bi 都可以表示成 r（cosθ+isinθ）的形式。其中，r 是复数 z 的模；θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数 z=a+bi 的辐角（argument of a complex number）。 r（cosθ+isinθ）叫做复数 z=a+bi 的三角表示式，简称三角形式，a+bi 叫做复数的代数表示式，简称代数形式。任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π 的整数倍。 我们规定在 $0\leqslant\theta<2\pi$ 范围内的辐角 θ 的值为辐角的主值（principal value of an argument），通常记作 arg z，即 $0\leqslant arg z<2\pi $每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。$r_{1}(cos\theta_{1}+isin\theta_{1})\cdot r_{2}(cos\theta_{2}+isin\theta_{2})=r_{1}r_{2}[cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isin(\theta_{1}+\theta_{2})]$两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。 $\frac{r_{1}(cos\theta_{1}+isin\theta_{1})}{r_{2}(cos\theta_{2}+isin\theta_{2})}=\frac{r_{1}}{r_{2}}[cos(\theta_{1}-\theta_{2})+isin(\theta_{1}-\theta_{2})]$复数的乘除运算的几何意义，就是平面向量的旋转、伸缩。1 的 n 次方根 棣莫弗定理：复数的 $n(n\in N^{*})$ 次幂的模等于这个复数的模的 n 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的 n 倍。如果 $z_{1}=z_{2}=\cdot\cdot\cdot=z_{n}=r(cos\theta+isin\theta)$，那么 $[r(cos\theta+isin\theta)]^{n}=r^{n}(cos\,n\theta+isin\,n\theta)$第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形空间几何体（space geometry）多面体（polyhedron）：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做~旋转体（rotating solid）：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做~。这条定直线叫做旋转体的轴。棱柱（prism）：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做~。 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱棱锥（pyramid）：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做~ 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥棱台（frustum of a pyramid）：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做~圆柱（circular cylinder）：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做~圆锥（circular cone）：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做~圆台（frustum of a cone）：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做~球（solid sphere）：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做~，简称球。棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为椎体，棱台与圆台统称为台体。8.简单组合体两种构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。8.2 立体图形的直观图直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形斜二测画法：x、y 轴相交成 45°，平行于 x 轴的长度不变，平行于 y 轴的长度减半。在立体几何中，常用正等测画法画水平放置的圆。8.3 简单几何体的表面积与体积8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和。体积： $V_{棱柱}=Sh$ $V_{棱锥}=\frac{1}{3}Sh$ $V_{棱台}=\frac{1}{3}h(S'+\sqrt{S'S}+S)$8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 $S_{圆柱}=2\pi r(r+l)$ （r 是底面半径，l 是母线长） $S_{圆锥}=\pi r(r+l)$ （r 是底面半径，l 是母线长） $S_{圆台}=\pi(r'^{2}+r^{2}+r'l+rl)$ （r'，r 分别是上、下底面半径，l 是母线长） $V_{圆柱}=\pi r^{2}h$ $V_{圆锥}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ $V_{圆台}=\frac{1}{3}\pi h(r'^{2}+r'r+r^{2})$球的表面积和体积 $S_{球}=4\pi R^{2}$ $V_{球}=\frac{4}{3}\pi R^{3}$祖暅原理：幂势既同，则积不容异。夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。等底面积等高的两个锥体的体积相等。8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1 平面（plane）基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。（不共线的三点确定一个平面）基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。$A\in l,B\in l,且 A\in \alpha,B\in \alpha \Rightarrow l\subset \alpha$基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。$P\in\alpha,且 p\in\beta\Rightarrow \alpha\cap\beta=l,且 P\in l $推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系空间中直线与直线的位置关系异面直线（skew lines）：不同在任何一个平面内的两条直线叫做~空间两条直线的位置关系有三种：$$ \left\{\begin{array}{l} 共面直线\left\{\begin{array}{l} 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点\\平行直线：在同一平面内，没有公共点 \end{array}\right.\\异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 \end{array}\right. $$空间中直线与平面的位置关系 （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线与平面平行 —— 没有公共点空间中平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有一条公共直线 判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。8.5 空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。8.5.2 直线与平面平行定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。8.5.3 平面与平面平行两个平面平行 <=> 一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行。定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。8.6 空间直线、平面的垂直8.6.1 直线与直线垂直空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线。如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线互相垂直。空间两条直线所成角 α 的取值范围是 $0°\leqslant\alpha\leqslant 90°$。8.6.2 直线与平面垂直一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足。过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条。过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。定理 如果一条直线与一个平面内的两个相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角。直线与平面所成的角 θ 的取值范围是 $0°\leqslant θ \leqslant 90°$。定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。8.6.3 平面与平面垂直从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面。二面角的平面角 α 的取值范围是 $0°\leqslant\alpha\leqslant 180°$。 平面角是直角的二面角叫做直二面角。一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。阅读与思考公理化方法：从尽可能少的原始概念（基本概念）和尽可能少的一组不加证明的原始命题（公理、公设）出发，通过严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成为演绎系统的一种方法。基本概念是不加定义的，它们必须是真正基本的，无法用更原始、更基本的概念定义。公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定。公理化方法主要有以下三个作用：1.概括整理数学知识2.促进新理论的创立3.对其他学科有示范作用。第九章 统计统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学。9.1 随机抽样对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查（overall survey），又称普查。在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体（population），组成总体的每一个调查对象称为个体（individual）。根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查（sampling survey）。我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本（sample），样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量。调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据。9.1.1 简单随机抽样（simple random sampling）一般地，设一个总体含有 N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取 n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样； 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。实现简单随机抽样的方法比较常用的有抽签法和随机数法。抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要，并不一定是越大越好。一般地，总体中有 N 个个体，它们的变量值分别为 $Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{N}$，则称 $\bar Y=\frac{Y_{1}+Y_{2}+\cdots+Y_{N}}{N}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Y_{i}$ 为总体均值（population mean），又称总体平均数。如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k（k≤N）个，不妨记为 $Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{k}$，其中 $Y_{i}$ 的出现的频数 $f_{i}(i=1,2,\cdots,k)$，则总体均值还可以写成加权平均数的形式 $\bar Y=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}f_{i}Y_{i}$如果从总体中抽取一个容量为 n 的样本，它们的变量值分别为 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{N}$，则称 $\bar y=\frac{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{N}}{y}=\frac{1}{y}\sum_{i=1}^{y}y_{i}$ 为样本均值（sample mean），又称样本平均数。在简单随机抽样中，我们常用样本平均数 $\bar y$ 去估计总体平均数 $\bar Y$。9.1.2 分层随机抽样抽样调查最核心的问题是样本的代表性。一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层。在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么成这种样本量的分配方式为比例分配。 在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数。9.1.3 获取数据的途径通过调查获取数据通过试验获取数据通过观察获取数据通过查询获得数据9.2 用样本估计总体9.2.1 总体取值规律的估计求极差：一组数据中最大值与最小值的差决定组距与组数：合适的组距与组数对发现数据分布的规律有重要意义。将数据分组：根据组距选择合理区间的最小值和最大值列频率分布表：分组频数画频率分布直方图：频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小。扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例 条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率 折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势9.2.2 总体百分位数的估计一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）% 的数据大于或等于这个值。9.2.3 总体集中趋势的估计一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数。9.2.4 总体离散程度的估计方差（variance）：$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i - \overline{x})^2}$ 或 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x^2_i - \overline{x}^2)}$标准差（standard deviation）：$\sqrt[]{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(x_i - \overline{x})^2}}$总体方差，总体标准差；样本方差，样本标准差总体方差的加权形式：$S^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}{f_i(Y_i - \overline{Y})^2}$标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度。9.3 统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析第十章 概率概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。概率是对随机事件发生可能性大小的度量。10.1 随机事件与概率10.1.1 有限样本空间与随机事件我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（random experiment），简称试验，常用字母 E 表示。它的特点如下： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。我们把随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间（sample space）。 一般地，我们用 Ω 表示样本空间，用 w 表示样本点。一般地，我们将样本空间 Ω 的子集称为随机事件（random event），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementary event）。Ω 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以 Ω 总会发生，我们称 Ω 为必然事件。而空集 $\phi$ 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 $\phi$ 为不可能事件。必然事件与不可能事件不具有随机性。 为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，这样，每个事件都是样本空间 Ω 的一个子集。10.1.2 事件的关系和运算一般地，若事件 A 发生，则事件 B 一定发生，我们就称事件 B 包含事件 A（或事件 A 包含于事件 B），记作 $B\supseteq A$（或 $A\subseteq B$）。 特别地，如果事件 B 包含事件 A，事件 A 也包含事件 B，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B一般地，事件 A 与事件 B 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件 A中，或者在事件 B 中，我们称这个事件为事件 A 与事件 B 的并事件（或和事件），记作 $A\cup B$（或 A+B）。一般地，事件 A 与事件 B 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件 A 中，也在事件 B 中，我们称这样的一个事件为事件 A 与事件 B 的交事件（或积事件），记作 $A\cap B$（或AB）。一般地，如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，也就是说 $A\cap B$ 是一个不可能事件，即 $A\cap B=\phi$，则称事件 A 与事件 B 互斥（或互不相容）。一般地，如果事件 A 和事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即 $A\cup B=Ω，且A\cap B=\phi$，那么称事件 A 与事件 B 互为对立。事件 A 的对立事件记为 $\bar A$10.1.3 古典概型对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件 A 的概率用 P（A）表示。古典概率模型（classical models of probability）： （1）：有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）：等可能性：每个样本点发生的可能性相等一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 $P(A)=\frac{k}{n}=\frac{n(A)}{n(Ω)}$，其中，n（A）和 n（Ω）分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数。10.1.4 概率的基本性质性质1 对任意的事件 A，都有 $P(A)\geqslant 0$性质2 必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0，即 $P(\Omega)=1,P(Ø)=0$性质3 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$性质4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P（B）=1-P（A），P（A）=1-P（B）性质5 如果 $A\subseteq B$，那么 $P(A)\leqslant P(B)$性质6 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$10.2 事件的相互独立性对任意两个事件 A 与 B，如果 P（AB）=P（A）P（B）成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立（mutually independent），简称独立。10.3 频率与概率10.3.1 频率的稳定性一般地，随着试验次数 n 的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A 发生的频率 $f_n(A)$ 会逐渐稳定于事件 A 发生的概率 P（A）。我们称频率的这个性质为频率的稳定性。10.3.2 随机模拟我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛（Monte Carlo）方法。
继续往上看高中数学，感觉有一些数学符号和之前学的不一样了，不知道是不是我的记忆错乱。比如 真子集 ⫋ 或 ⫌ ，完全没有印象，啥时候真子集下面有个不等号了。还有补集，那个瘦瘦高高的 C 又是怎么回事？难道是为了和国际接轨，所以把符号都改了，不至于啊。放大看就这这个样子：感觉这个符号就像大写的 C，于是打开 word 在里面一顿翻找，终于找出差不多的字体，具体效果如下：补集（complementary set）：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 C$_{U}A$，即 C$_{U}A$={x|$x \in U$，且 $x \notin A$}。在 markdown 里面的用法，看下面的代码：C$_{U}A$，即 C$_{U}A$={x|$x \in U$，且 $x \notin A$}注意上面这段代码在 Mac 系统里面居然无效，Mac 里面显示效果如下图：有时间再研究 Mac 下的效果吧。补记：如果你感觉一个东西不存在，大部分原因还是见识少，并不是不存在。这句话的意思是聪明的人比你多的多，或者也可以解释为：你所遇到的问题，99% 之前已经有人遇到过，并且有答案。果然还是见识少，最近一直在写公式，偶尔看到了 LaTeX 符号大全，才发现居然有这个符号，外观如下：$\complement _{U}A$\complement _{U}A
人教版高中数学必修第一册A版知识要点
为啥深圳义务教育阶段的数学使用的是北师大的版本，到了高中就换成人教版了，一开始就用人教版不好吗？第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念元素（element）：一般地，我们把研究对象统称为~集合（set）：一些元素组成的总体叫做~，简称为集。给定的集合，它的元素必须是确定的，集合中的元素是不重复出现的，元素在集合中是无序的。集合相等：构成两个集合的元素是一样的如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于（belong to）集合 A，记作 $a \in A$;如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于（not belong to）集合 A，记作 $a\notin A$。自然数集 N、正整数集 $N^{\ast}或N_{+}$、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法。描述法：一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P（x） 的元素 x 所组成的集合表示为 $\{x\in A|P(x)\}$，这种表示集合的方法称为~。1.2 集合间的基本关系子集（subset）：一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 B 的子集，记作 $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$，读作“A 包含于 B”或“B 包含 A”。Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合的图形。若 $A\subseteq B$ ，且 $B\subseteq A$，则 A = B。真子集（proper subset）：如果集合 $A\subseteq B$，但存在元素 $x \in B$，且 $x \notin A$，就称集合 A 是集合 B 的~，记作A ⫋ B 或 B ⫌ A，读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”。空集（empty set）：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做~，记为 Ø，并规定：空集是任何集合的子集。任何一个集合是它本身的子集，即 $A\subseteq A$；对于集合 A，B，C，如果 $A\subseteq B$，且 $B\subseteq C$，那么 $A\subseteq C$。1.3 集合的基本运算并集（union set）：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作 $A\cup B$，读作“A 并 B”，即 $A\cup B$={x|$x \in A$，或 $x \in B$}。交集（intersection set）：一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的~，记作 $A\cap B$，读作“A 交 B”，即 $A\cap B$={x|$x \in A$，且 $x \in B$}。全集（universe set）：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及到所有元素，那么就称这个集合为~，通常记作 U。补集（complementary set）：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 C$_{U}A$，即 C$_{U}A$={x|$x \in U$，且 $x \notin A$}。有限集：含有限个元素的集合，用 card（A）来表示有限集合 A 中元素的个数。一般地，对任意两个有限集合 A，B，有 card（$A\cup B$）= card（A）+card（B）- card（$A\cap B$）图解法解决复杂的交集、并集问题有明显的优越性。1.4 充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q。这时，我们就说，由 p 可以推出 q，记作 $p\Rightarrow q$，并且说，p 是 q 的充分条件（sufficient condition），q 是 p 的必要条件（necessary condition）。如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q，记作 p ⇏ q。此时，我们就说 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件。一般来说，对给定结论 q，使得 q 成立的条件 p 是不唯一的。一般来说，给定条件 p，由 p 可以推出的结论 q 是不唯一的。一般地，要判断“若 p，则 q”形式的命题中 q 是否为 p 的必要条件，只需判断是否有“$p\Rightarrow q$”，即“若 p，则 q”是否为真命题。一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。1.4.2 充要条件如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均是真命题，即既有 $p\Rightarrow q$，又有 $q\Rightarrow p$，就记作 $p\Leftrightarrow q$。此时，p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件（sufficient and necessary condition）。1.5 全称量词与存在量词1.5.1 全称量词与存在量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“$\forall$”表示。含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（universal proposition）。常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等。全称量词命题“对 M 中任意一个 x，p（x）成立”，用符号简记为 $\forall x \in M, p(x)$。短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“$\exists$”表示。含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（existential proposition）。存在量词命题“存在 M 中的元素 x，p（x）成立”可用符号简记为 $\exists x\in M, p(x)$。1.5.2 全程量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题：$\forall x \in M, p(x)$，它的否定：$\exists x\in M, ┐ p(x)$。存在量词命题：$\exists x\in M, p(x)$，它的否定：$\forall x \in M, ┐ p(x)$。第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质a > b ⇔ a - b > 0a = b ⇔ a - b = 0a < b ⇔ a - b < 0一般地，$\forall a,b\in R$，有 $a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$，当且仅当 a = b 时，等号成立。等式性质1：如果 a = b，那么 b = a；等式性质2：如果 a = b, b = c，那么 a = c；等式性质3：如果 a = b，那么 a ± c = b ± c；等式性质4：如果 a = b，那么 ac = bc；等式性质5：如果 a = b，c ≠ 0，那么 $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$.不等式性质1：如果 a > b,那么 b < a；如果 b < a，那么 a > b。即 a > b ⇔ b < a。不等式性质2：如果 a > b, b > c, 那么 a > c。即 a > b, b > c ⇒ a > c。不等式性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。不等式性质4：如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc；如果 a > b，c < 0，那么 ac < bc。不等式性质5：如果 a > b，c > d，那么 a + c > b + d。不等式性质6：如果 a > b > 0，c > d > 0，那么 ac > bd。不等式性质7：如果 a > b > 0，那么 $a^{n} > b^{n}(n\in N, n\geqslant 2)$。2.2 基本不等式（basic inequality）如果 a > 0，b > 0，可得 $\sqrt{ab}\leqslant \frac{a+b}{2}$，当且仅当 a = b 时，等号成立。$\sqrt{ab}$ 叫做正数 a，b 的几何平均数，$\frac{a+b}{2}$ 叫做正数 a，b 的算术平均数。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式（quadric inequality in one unknown）。一元二次不等式的一般形式是 $ax^{2}+bx+c>0$ 或 $ax^{2}+bx+c<0$，其中 a，b，c 均为常数，a ≠ 0。一般地，对于二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$，我们把使 $ax^{2}+bx+c=0$ 的实数 x 叫做二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的零点。利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程：第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function），记作 $y=f(x), x\in A$。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain）；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|$x\in A$} 叫做函数的值域（range）。设 a，b 是两个实数，而且 a < b。我们规定：（1）满足不等式 $a\leqslant x\leqslant b$ 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为 $[a，b]$；（2）满足不等式 $a < x < b$ 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为 （a，b）；（3）满足不等式 $a\leqslant x < b$ 或 $a < x\leqslant b$的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 $[a，b），（a，b]$。这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点。在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。实数集 R 可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。3.1.2 函数的表示法解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系分段函数：对于自变量 x 的不同的取值范围有不同的解析式的函数。3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大（小）值函数的单调性：函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质一般地，设函数 f（x）的定义域为 I，区间 $D\subseteq I$：如果 $\forall x_{1},x_{2}\in D$，当 $x_{1}<x_{2}$ 时，都有 $f(x_{1})<f(x_{2})$，那么就称函数 f（x）在区间 D 上单调递增。特别地，当函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数（increasing function）。如果 $\forall x_{1},x_{2}\in D$，当 $x_{1}<x_{2}$ 时，都有 $f(x_{1})>f(x_{2})$，那么就称函数 f（x）在区间 D 上单调递减。特别地，当函数 f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数（decreasing function）。如果函数 y=f（x）在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f（x）的单调区间。一般地，设函数 y=f（x）的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：（1）$\forall x\in I $，都有 $f(x)\leqslant M$；（2）$\exists x_{0}\in I$，使得 $f(x_{0}) = M$那么，我们称 M 是函数 y=f（x）的最大值（maximum value）。最小值（minimum value）3.2.2 奇偶性一般地，设函数 f（x）的定义域为 I，如果 $\forall x\in I $，都有 $-x\in I$，且 f（-x）= f（x），那么函数 f（x）就叫做偶函数（even function）。一般地，设函数 f（x）的定义域为 I，如果 $\forall x\in I $，都有 $-x\in I$，且 f（-x）= -f（x），那么函数 f（x）就叫做奇函数（odd function）。奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域。3.3 幂函数一般地，函数 $y=x^{a}$ 叫做幂函数（power function），其中 x 是自变量，a 是常数。3.4 函数的应用（一）第四章 指数函数与对数函数4.1 指数4.1.1 n 次方根与分数指数幂一般地，如果 $x^{n}=a$，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n > 1，且 $n\in N^{*}$。负数没有偶次方根。0 的任何次方根都是 0，记作 $\sqrt[n]{0}=0$。式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做根式（radical），这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。当 n 为奇数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=a$；当 n 为偶数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=\left| a\right|=\left\{\begin{matrix}a,a\geqslant 0\\-a,a<0\end{matrix}\right.$正数的正分数指数幂：$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}(a>0,m,n\in N^{*},n>1)$正数的负分数指数幂：$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}(a>0,m,n\in N^{*},n>1)$0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。对于任意有理数 r，s，均有：（1）$a^{r}a^{s}=a^{r+s}(a>0,r,s\in Q)$（2）$(a^{r})^{s}=a^{rs}(a>0,r,s\in Q)$（3）$(ab)^{r}=a^{r}b^{r}(a>0,b>0,r\in Q)$4.1.2 无理数指数幂及其运算性质一般地，无理数指数幂是一个确定的实数；实数指数幂是一个确定的实数。对于任意实数 r，s，均有：（1）$a^{r}a^{s}=a^{r+s}(a>0,r,s\in R)$（2）$(a^{r})^{s}=a^{rs}(a>0,r,s\in R)$（3）$(ab)^{r}=a^{r}b^{r}(a>0,b>0,r\in R)$4.2 指数函数4.2.1 指数函数的概念增长量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。增长率为常数的变化方式称为指数增长。一般地，函数 $y=a^{x}(a>0,且a\neq 1)$ 叫做指数函数（exponential function），其中指数 x 是自变量，定义域是 R。4.2.2 指数函数的图象和性质底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称。指数函数的图象和性质如下表：4.3 对数4.3.1 对数的概念一般地，如果 $a^{x}=N(a>0,且 a\neq 1)$，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数（logarithm），记作 $x=log_{a}N$，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。通常，我们将以 10 为底的对数叫做常用对数（common logrithm），并把 $log_{10}N$ 记为 lgN以 e 为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并把 $log_{e}N$ 记为 lnN对数与指数间的关系：当 a > 0，a ≠ 1 时，$a^{x}=N\Leftrightarrow x=log_{a}N$负数和 0 没有对数；$log_{a}1=0,log_{a}a=1$4.3.2 对数的运算如果 a > 0，且 a ≠ 1，M > 0，N > 0，那么（1）$log_{a}(MN)=log_{a}M+log_{a}N$（2）$log_{a}\frac{M}{N}=log_{a}M-log_{a}N$（3）$log_{a}M^{n}=nlog_{a}M(n\in R)$对数换底公式：$log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}(a>0, 且 a\neq 1;b>0;c>0, 且 c\neq 1)$4.4 对数函数4.4.1 对数函数的概念一般地，函数 $y=log_{a}x(a>0, 且 a\neq 1)$ 叫做对数函数（logarithmic function），其中 x 是自变量，定义域是 （0，+∞）4.4.2 对数函数的图象和性质底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称。一般地，对数函数的图象和性质如下表：反函数（inverse function）：一般地，指数函数 $y=a^{x}(a>0，且 a\neq 1)$ 与对数函数 $y=log_{a}x(a>0，且 a\neq 1)$ 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。4.4.3 不同函数增长的差异指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸式增长。对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。4.5 函数的应用（二）4.5.1 函数的零点与方程的解对于一般函数 y=f（x），我们把使 f（x）= 0 的实数 x 叫做函数 y=f（x）的零点（zero point）。函数 y=f（x）的零点就是方程 f（x）= 0 的实数解，也就是函数 y=f（x）的图象与 x 轴的公共点的横坐标。函数零点存在定理：如果函数 y=f（x）在区间 $[a,b]$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f（a）f（b）< 0，那么，函数 y=f（x）在区间 （a，b）内至少有一个零点，即存在 $c\in (a,b)$，使得 f（c）= 0，这个 c 也就是方程 f（x）= 0 的解。4.5.2 用二分法求方程的近似解二分法（bisection）：对于在区间 $[a,b]$ 上图象连续不断且 f（a）f（b）< 0 的函数 y=f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近视值的方法叫做~。为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度 ε ，有 |a-b|<ε 可知，区间 $[a,b]$ 中任意一个值都是零点 $x_{0}$ 满足精确度 ε 的近视值。4.5.3 函数模型的应用数学建模活动第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制5.1.1 任意角正角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：一条射线没有做任何旋转任意角（ang angle）：正角、负角和零角。互为相反角：我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做~。第几象限角所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 $S=\{\beta|\beta=\alpha+k\cdot 360°,k\in Z\}$，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和。5.1.2 弧度制角度制：用度作为单位来度量角的单位制圆心角 α 所对的弧长与半径的比值，只与 α 的大小有关。我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度（radian）的角，弧度单位用符号 rad 表示，读作弧度。单位圆：半径为 1 的圆正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.180° = π rad1° = $\frac{π}{180}$ rad ≈ 0.01745 rad1 rad = $(\frac{180}{π})°$ ≈ 57.30°5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念设 α 是一个任意角，$α\in R$，它的终边 OP 与单位圆相交于点 P（x，y）：（1）把点 P 的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数（sine function），记作 sin α，即 y = sin α；（2）把点 P 的横坐标 x 叫做 α 的余弦函数（cosine function），记作 cos α，即 x= cos α；（3）把点 P 的纵坐标与横坐标的比值 $\frac{y}{x}$ 叫做 α 的正切，记作 tan α，即 $\frac{y}{x}=tan \alpha(x\neq 0)$三角函数（trigonometric function）：正弦函数、余弦函数和正切函数（tangent function）的统称。正弦函数 y = sin x，$x\in R$余弦函数 y = cos x，$x\in R$正切函数 y = tan x，$x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in Z)$终边相同的角的同一三角函数的值相等。公式一：sin（α + k·2π）= sin αcos（α + k·2π）= cos αtan（α + k·2π）= tan α，其中 $k\in Z$5.2.2 同角三角函数的基本关系同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1 ，商等于角 α 的正切。$sin^{2}α+cos^{2}α=1$$\frac{sin α}{cos α}=tan α (α\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z )$5.3 诱导公式公式二（关于原点对称）：sin（π + α）= - sin αcos（π + α）= - cos αtan（π + α）= tan α公式三（关于 x 轴对称）：sin（-α）= - sin αcos（-α）= cos αtan（-α）= - tan α公式四（关于 y 轴对称）：sin（π - α）= sin αcos（π - α）= - cos αtan（π - α）= - tan α公式五（关于 y=x 对称）：$sin(\frac{\pi}{2}-α)=cos α$$cos(\frac{\pi}{2}-α)=sin α$公式六：$sin(\frac{\pi}{2}+α)=cos α$$cos(\frac{\pi}{2}+α)=-sin α$公式一 ~ 公示六都叫做诱导公式（induction function）。5.4 三角函数的图象与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象正弦函数的图象叫做正弦曲线（sine curve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。余弦函数 y=cos x，$x\in R$ 的图象叫做余弦函数（cosine curve），它是与正弦函数具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线。5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质周期性一般地，设函数 f（x）的定义域为 D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个 $x\in D$ 都有 $x+T\in D$，且 f（x+T）=f（x），那么函数 f（x）就叫做周期函数（periodic function）。非零常数 T 叫做这个函数的周期（period）。周期函数的周期不止一个。最小正周期（minimal positive period）：如果在周期函数 f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f（x）的~。正弦函数是周期函数，2kπ$(k\in Z 且 k\neq 0)$ 都是它的周期，最小正周期是 2π。余弦函数也是周期函数，2kπ$(k\in Z 且 k\neq 0)$ 都是它的周期，最小正周期是 2π。奇偶性正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于 y 轴对称。正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。单调性正弦函数在每一个闭区间 $[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi](k\in Z)$ 上都单调递增，其值从 -1 增大到 1；在每一个闭区间 $[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi](k\in Z)$ 上都单调递减，其值从 1 减小到 -1。余弦函数在每一个闭区间 $[-\pi+2k\pi,2k\pi](k\in Z)$ 上都单调递增，其值从 -1 增大到 1；在每一个闭区间 $[2k\pi,\pi+2k\pi](k\in Z)$ 上都单调递减，其值从 1 减小到 -1。最大值与最小值正弦函数当且仅当 $x=2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z$ 时取得最大值 1，当且仅当 $x=2k\pi+\frac{3\pi}{2},k\in Z$ 时取得最小值 -1;余弦函数当且仅当 $x=2k\pi,k\in Z$ 时取得最大值 1，当且仅当 $x=2k\pi+\pi,k\in Z$ 时取得最小值 -1。5.4.3 正切函数的性质与图象周期性正切函数是周期函数，周期是 π，即 $tan(x+\pi)=tan x,x\in R,且 x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$奇偶性正切函数是奇函数，即 $tan(-x)=-tan x,x\in R,且 x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$正切曲线（tangent curve）是被与 y 轴平行的一系列直线 $x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$ 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的。单调性正切函数在每一个区间 $(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)(k\in Z)$ 上都单调递增。值域正切函数的值域是实数集 R。5.5 三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角差的余弦公式：对于任意角 α，β 有 $cos(\alpha-\beta)=cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$，称为差角的余弦公式，简记做 $C_{(\alpha-\beta)}$两角和与差的正弦、余弦、正切公式（和角公式、差角公式） $cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$，简记做 $C_{(\alpha+\beta)}$ $sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$，简记做 $S_{(\alpha+\beta)}$ $sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$，简记做 $S_{(\alpha-\beta)}$ $tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta }$，简记做 $T_{(\alpha+\beta)}$ $tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta }$，简记做 $T_{(\alpha-\beta)}$二倍角的正弦、余弦、正切公式 （倍角公式） $sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$ $cos2\alpha=cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha$ $tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^{2}\alpha}$ $cos2\alpha=1-2sin^{2}\alpha$ $cos2\alpha=2cos^{2}\alpha-1$5.5.2 简单的三角恒等变换5.6 函数 y=Asin（ωx+φ）5.6.1 匀速圆周运动的数学模型5.6.2 函数 y=Asin（ωx+φ）的图象探索 φ 对 y=sin（x+φ）图象的影响一般地，当动点 M 的起始位置 Q 所对应的角为 φ 时，对应的函数是 y=sin（x+φ）（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当 φ>0 时）或向右（当 φ<0 时）平移 |φ| 个单位长度，就得到函数 y=sin（x+φ）的图象。探索 ω（ω>0）对 y=sin（ωx+φ）的图象的影响一般地，函数 y=sin（ωx+φ）的周期是 $\frac{2\pi}{\omega}$，把 y=sin（x+φ）图象上所有点的横坐标缩短（当 ω>0 ）或伸长（当 0<ω<1 时）到原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍（纵坐标不变），就得到 y=sin（ωx+φ）的图象。探索 A（A>0）对 y=Asin（ωx+φ）的图象的影响一般地，函数 y=Asin（ωx+φ）的图象，可以看作是把 y=sin（ωx+φ）的图象上所有点的纵坐标伸长（当 A>1 时）或缩短（当 0<A<1 时）到原来的 A 倍（横坐标不变）而得到，函数 y=Asin（ωx+φ）的值域是 $[-A,A]$，最大值是 A，最小值是 -A。一般地，函数 y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数 y=sin x 的图象；再把正弦曲线向左（或右）平移 |φ| 个单位长度，得到函数 y=sin（x+φ）的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍（纵坐标不变），得到 y=sin（ωx+φ）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 A 倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数 y=Asin（ωx+φ）的图象。5.7 三角函数的应用弹簧振子、钟摆的摆动、水中浮标的上下浮动、琴弦的振动、交流电、温度变化、潮汐变化简谐运动：在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为~。在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 y=Asin（ωx+φ），$x\in[0,+\infty]$ 表示，其中 A>0，ω>0。 A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平缓位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是 $T=\frac{2\pi}{\omega}$，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式 $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$ 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx+φ 称为相位；x=0 时的相位 φ 称为初相。
连续几天把北师大版的初中数学课本翻了一遍，把重要的知识点一篇篇记录了下来：北师大版《数学》七年级上册要点北师大版《数学》七年级下册要点北师大版《数学》八年级上册要点北师大版《数学》八年级下册要点北师大版《数学》九年级上册要点北师大版《数学》九年级下册要点当初自己上初中学数学的情况已然忘的一干二净，但现在重新翻看，一点点模糊的印象还是有的。现如今的初中数学，总体上感觉就是小学数学的加深版，新概念不是很多，很多知识点我已经讲给了恩宝。目前恩宝已经学完了四年级的数学课本，在做习题复习巩固，11月份还有个数学竞赛参加一下练练手，因此也不准备往前学五年级的内容，比赛完再说，争取放假前学完五上的数学，寒假把五下学完就差不多了。回过头来说初中数学，每一本大概五六章，最后一学期才三章，看完书之后就找了乐宝当年考试的试卷来练手，考了八十多分。但似乎最后一题最后一小问，需要用到三角函数的平方公式： $sin^{2}α+cos^{2}α = 1$，这个是高中数学的知识点。课本上也许有这个知识点的拓展，回头我再翻看一下。又翻了一下课本，认真查找发现了一道例题：$$sin^{2}60°+cos^{2}60°-tan45°$$还有，章节复习题里面也有两题：$$cos^{2}30°+sin^{2}30°-tan45°$$ $$sin^{2}30°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos^{2}30°$$老师上课的时候应该会讲这个知识点，毕竟这个平方公式也比较好证明。2021深圳中考数学试卷（带答案）PDF文档：感兴趣的请点击下载：2021深圳中考数学试卷（带答案）.PDF
亲爱的同学，祝贺你迎来了义务教育阶段最后一个学期的数学学习生活！一 直角三角形的边角关系1、锐角三角函数正切（tangent）：在 $Rt\triangle ABC$ 中，如果锐角 A 确定，那么 $\angle A$ 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 $\angle A$ 的正切，记作 tan A，即$tan A = \frac{\angle A 的对边}{\angle A 的邻边}$tan A 的值越大，梯子越陡。正切也经常用来描述山坡的坡度。坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）。正弦（sine）：在 $Rt\triangle ABC$ 中，如果锐角 A 确定，那么 $\angle A$ 的对边与斜边的比便随之确定，这个比叫做 $\angle A$ 的正弦，记作 sin A，即$sin A = \frac{\angle A 的对边}{斜边}$余弦（cosine）：在 $Rt\triangle ABC$ 中，如果锐角 A 确定，那么 $\angle A$ 的邻边与斜边的比便随之确定，这个比叫做 $\angle A$ 的余弦，记作 cos A，即$cos A = \frac{\angle A 的邻边}{斜边}$三角函数（trigonometric function）sin A 的值越大，梯子越陡；cos A 的值越小，梯子越陡。2、30°，45°，60° 角的三角函数值3、三角函数的计算用科学计算器求三角函数已知三角函数值，反求角度4、解直角三角形解直角三角形：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程。在直角三角形的 6 个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三格元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来。5、三角函数的应用6、利用三角函数测高二 二次函数1、二次函数二次函数（quadratic function）：一般地，若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 $y=ax^{2}+bx+c$（a，b，c 是常数，$a\neq 0$）的形式，则称 y 是 x 的二次函数。2、二次函数的图像与性质二次函数 $y=x^{2}$ 的图象是一条抛物线（parabola），它的开口向上，且关于 y 轴对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点。一般地，平移二次函数 $y=ax^{2}$ 的图象便可得到二次函数 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的图象。a > 0，开口向上，a < 0，开口向下；对称轴直线 x = h ；顶点坐标（h，k）二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 图象的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})$。3、确定二次函数的表达式通过图象经过的点来反推二次函数的各项系数，从而得到二次函数表达式4、二次函数的应用5、二次函数与一元一次方程二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的图象与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。与此相对应，一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根。二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 的根。三 圆1、圆圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。定点就是圆心，定长就是半径。以点 O 为圆心的圆记作 $\bigotimes O$，读作“圆 O”。弦（chord）：连接圆上任意两点的线段直径（diameter）：经过圆心的弦圆弧：圆上任意两点间的部分。优弧、劣弧半圆（semicircle）：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做~等圆（equal circles）：能够重合的两个圆等弧（equal arcs）：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内。2、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。*3、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平方弦所对的弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。4、圆周角和圆心角的关系圆周角（angle of circumference）：顶点在圆上，两边分别与圆还有交点圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形（inscribed quadrilateral）：四边形 ABCD 的四个顶点都在圆上，这个圆叫做四边形的外接圆。推论：圆内接四边形的对角互补。5、确定圆的条件尺规作过不在同一条直线上的三点的圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆。三角形的外接圆（circumcircle of triangle）：三角形的三个顶点确定一个圆外心（circumcenter）：外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点6、直线和圆的位置关系直线和圆有三种关系：相交、相切和相离。圆的切线（tangent line）：直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做~，这个唯一的公共点叫做切点（point of tangency）。圆的切线垂直于过切点的半径。过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。三角形的内切圆（inscribed circle of triangle）：和三角形三边都相切的圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）。*7、切线长定理切线长（length of the tangent）：过圆外一点画圆的切线，这点和切线之间的线段长叫做这点到圆的~切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等。8、圆内接正多边形圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆。边心距：正多边形的中心到边的距离尺规作正五边形9、弧长及扇形的面积在半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长（arc length）的计算公式为 $l=\frac{n}{180}\pi R$。如果扇形的半径为 R，圆心角为 n°，那么扇形面积的计算公式为$S_{扇形}=l\cdot \frac{R}{2}$，也等于$$S_{扇形}=\frac{n}{360}\pi R^{2}$$综合与实践视力的变化哪种方式更合算设计遮阳篷
一 特殊平行四边形1、菱形的性质与判定菱形（rhombus）：有一组邻边相等的平行四边形定理：菱形的四条边相等。定理：菱形的对角线互相垂直。定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。定理：四边相等的四边形是菱形。2、矩jǔ形的性质与判定矩形（rectangle）：有一个角是直角的平行四边形定理：矩形的四个角都是直角。定理：矩形的对角线相等。定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。定理：对角线相等的平行四边形是矩形。定理：有三个角是直角的四边形是矩形。3、正方形的性质与判定正方形（square）：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分。定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。定理：有一个角是直角的菱形是正方形。定理：对角线相等的菱形是正方形。二 一元二次方程1、认识一元二次方程整式方程：等号两边都是关于未知数的整式的方程一元二次方程（quadratic equation with one unknown）：只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化成 $ax^{2}+bx+c=0$（a，b，c 为常数，$a\neq 0$）的形式，这样的方程叫做~。我们把 $ax^{2}+bx+c=0$（a，b，c 为常数，$a\neq 0$）称为一元二次方程的一班形式，其中 $ax^{2}$，bx，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a，b 分别称为二次项系数和一次项系数。2、用配方法求解一元二次方程配方法（solving by completing the square）：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根3、用公式法求解一元二次方程对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq 0$），当 $b^{2}-4ac\geqslant 0$ 时，它的根是：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$ ，这个式子称为一元二次方程的求根公式。公式法（solving by formular）：用求根公式解一元二次方程的方法对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq 0$），当 $b^{2}-4ac > 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；当 $b^{2}-4ac = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；当 $b^{2}-4ac < 0$ 时，方程没有实数根。根的判别式：$b^{2}-4ac$，通常用希腊字母delta“Δ”来表示。4、用因式分解法求解一元二次方程如果 $a\cdot b=0$，那么 a = 0 或 b = 0。因式分解法：让一元二次方程的一边为 0，把另一边分解成两个一次因式的乘积。*5、一元二次方程的根与系数的关系如果方程 $ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq 0$） 有两个实数根 $x_{1}$，$x_{2}$，那么$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ ， $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。6、应用一元二次方程三 概率的进一步认识1、用树状图或表格求概率2、用频率估计概率四 图形的相似1、成比例线段两条线段的比（ratio）：长度比，即 AB ：CD = m ：n，或写成 $\frac{AB}{CD}=\frac{m}{n}$。AB 叫做线段比的前项，CD 为后项。成比例线段（proportional segments）：四条线段a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么 ad = bc 。如果 ad = bc（a，b，c，d 都不等于 0），那么 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=...=\frac{m}{n}(b+d+...+n\neq 0)$ ，那么 $\frac{a+c+...+m}{b+d+...+n}=\frac{a}{b}$。2、平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。3、相似多边形相似多边形（similar polygons）：各角分别相等、各边成比例的两个多边形，符号“$\backsim$”，读作“相似于”。相似比（similarity ratio）：相似多边形对应边的比4、探索三角形相似的条件相似三角形（similar triangles）：三角分别相等、三边成比例的两个三角形定理：两角分别相等的两个三角形相似。定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。定理：三边成比例的两个三角形相似。黄金分割（golden section）：一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 $\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割。点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比，约等于 0.618。*5、相似三角形判定定理的证明定理：两角分别相等的两个三角形相似。定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。定理：三边成比例的两个三角形相似。6、利用相似三角形测高7、相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。8、图形的位似位似多边形（homothetic polygons）：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P' 所在的直线都经过同一点 O，且有 $OP'=k\cdot P(k\neq 0)$，那么这样的两个多边形叫做~，点 O 叫做位似中心（homothetic center），k 就是相似比。在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 $k(k\neq 0)$，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 |k|。五 投影与视图1、投影投影（projection）：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。中心投影（central projection）：从一个点发出的光线所形成的投影平行投影（parallel projection）：平行光线所形成的投影正投影（orthographic projection）：平行光线与投影面垂直2、视图视图（view）：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形正面的主视图（front view）、左视图（left view）、上面的俯视图（planform view）六 反比例函数1、反比例函数反比例函数：一般地，如果两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 $y=\frac{k}{x}(k为常数，k\neq 0)$ 的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。 自变量 x 不能为零。2、反比例函数的图象与性质反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象是由两支曲线（双曲线）组成的。当 k > 0 时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当 k < 0 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象，当 k > 0 时，在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而减小；当 k < 0 时，在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而增大。3、反比例函数的应用综合与实践制作视力表猜想、证明与拓广池塘里有多少鱼
一 三角形的证明1、等腰三角形定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）全等三角形的对应边相等、对应角相等。定理：等腰三角形的两底角相等，简述为：等边对等角。推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等角对等边。反证法（reduction absurdity）：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。定理：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形定理：直角三角形的两个锐角互余。定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平法，那么这个三角形是直角三角形。互逆命题：在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件。逆定理：一个定理的逆命题经过证明是真命题定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“ HL ”。3、线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。4、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角度平分线上。二 一元一次不等式与一元一次不等式组1、不等关系不等式（inequality）：一般地，用符号"<"（或“$\leqslant$”），“>”（或“$\geqslant$”）连接的式子叫做~2、不等式的基本性质性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。3、不等式的解集不等式的解：能使不等式成立的未知数的值不等式的解集（solution set）：一个含有未知数的不等式的所有解解不等式：求不等式解集的过程不等式解集的数轴表示：空心圆圈不包含、实心圆圈包含4、一元一次不等式一元一次不等式（linear inequality with one unknown）：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 15、一元一次不等式与一次函数通过图象观察不等式的取值范围一元一次不等式描述了问题中两个变量满足某些特定条件时的状态6、一元一次不等式组一元一次不等式组（system of linear inequalities with one unknown）：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ~。一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分解不等式组：求不等式组解集的过程三 图形的平移与旋转1、图形的平移平移（translation）：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。平移不改变图形的形状和大小。一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的。2、图形的旋转旋转（rotation）：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度。这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。3、中心对称中心对称（central symmetry）：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或~，这个点叫做它们的对称中心（centre of symmetry）。成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合，这个点叫做它的对称中心。4、简单的图案设计四 因式分解1、因式分解因式分解（factorization）：把一个多项式化成几个整式的积的形式2、提公因式法公因式（common factor）：多项式各项都含有的相同因式提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做~。负号要提出来3、公式法$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$，$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$五 分式与分式方程1、认识分式分式（fraction）：一般地，用 A，B 表示两个整式，A$\div$B 可以表示成 $A\over B$ 的形式。如果 B 中含有字母，那么称 $A\over B$ 为~，其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。约分（reduction of a fraction）：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的~。最简分式：分子和分母没有公因式的分式2、分式的乘除法两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。3、分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程称为分式的~。异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。4、分式方程分式方程（fractional equation）：分母中含有未知数的方程增根：使分式方程的分母为零的根解分式方程必须检验，通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零。六 平行四边形1、平行四边形的性质平行四边形（parallelogram）：两组对边分别平行的四边形平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。定理：平行四边形的对边相等。定理：平行四边形的对角相等。定理：平行四边形的对角线互相平分。2、平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为~。3、三角形的中位线三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。4、多边形的内角和与外角和定理：n 边形的内角和等于 $(n-2)\cdot 180°$。外角（exterior angle）：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角。定理：多边形的外角和都等于 360°。综合实践生活中的“一次模型”平面图形的镶嵌（密铺）
一 勾股定理1、探索勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$。2、一定是直角三角形吗如果三角形的三边长 a，b，c 满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形。勾股数：满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的三个正整数3、勾股定理的应用蚂蚁爬圆柱二 实数1、认识无理数无理数（irrational number）：无限不循环小数2、平方根算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 $x^{2}=a$，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作 $\sqrt{a}$，读作“根号 a”。我们规定：0 的算术平方根是 0，即$\sqrt{0}=0$。平方根（二次方根 square root）：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 $x^{2}=a$，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根。一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。正数 a 有两个平方根，分别是 $\sqrt{a}$ 与 $-\sqrt{a}$，它们互为相反数，合起来记作 $\pm\sqrt{a}$，读作“正、负根号 a”。开平方（extraction of square root）：求一个数 a 的平方根的运算，a 叫做被开方数。3、立方根立方根（三次方根 cube root）：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 $x^{3}=a$，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根。每个数 a 都有一个立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$，读作“三次根号 a”。正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。开立方（extraction of cubic root）：求一个数 a 的立方根的运算，a 叫做被开方数。4、估算5、用计算器开方6、实数实数（real number）可以分为有理数和无理数，也可以分为正实数、0、负实数。实数和数轴上的点是一一对应的。7、二次根式二次根式：一般地，形如 $\sqrt{a} (a\geqslant 0)$ 的式子叫做~，a 叫做被开方数。$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} (a\geqslant 0,b\geqslant 0)$，$\sqrt{a\over b}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geqslant 0,b > 0)$。积的算术平方根，等于算术平方根的积；商的算术平方根，等于算术平方根的商。最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式。化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geqslant 0,b\geqslant 0)$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{a\over b}(a\geqslant 0,b > 0)$。三 位置与坐标1、确定位置在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。2、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系（rectangular coordinates system）。右上方的部分叫做第一象限，逆时针方向依次叫做第二象限...。坐标轴上的点不在任何一个象限内。在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。3、轴对称与坐标变化关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。四 一次函数1、函数一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数（function），其中 x 是自变量。表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图像法。对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。2、一次函数与正比例函数若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成 y = kx + b（k，b为常熟，$k\neq 0$）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（linear function）。特别地，当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数。3、一次函数的图象（graph）正比例函数 y = kx 的图象是一条经过原点（0，0）的直线。在正比例函数 y = kx 中，当 k > 0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；当 k < 0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小。一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线。一次函数 y = kx + b 的图象经过点（0，b）。当 k > 0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；当 k < 0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小。4、一次函数的应用五 二元一次方程组1、认识二元一次方程组二元一次方程（linear equation with two unknowns）：含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是 1 的方程二元一次方程组（system of linear equation with two unknowns）：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解2、求解二元一次方程组代入消元法、加减消元法、顺序消元法3、应用二元一次方程组 - 鸡兔同笼4、应用二元一次方程组 - 增收节支5、应用二元一次方程组 - 里程碑上的数6、二元一次方程与一次函数一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线。一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。7、用二元一次方程组确定一次函数表达式图象法可比较直观地获得问题的结果，但有时结果不准确；可用代数方法。待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法。*8、三元一次方程组三元一次方程（linear equation with three unknowns）：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1三元一次方程组（system of linear equation with three unknowns）：含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解解三元一次方程组的基本思路是『消元』。六 数据的分析1、平均数算术平均数（平均数 mean）：一般地，对于 n 个数 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$，我们把 $\frac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})$ 叫做这 n 个数的~，记为 $\bar{x}$。若 n 个数 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 的权分别是 $w_{1},w_{2},...,w_{n}$ ，那么 $\frac{x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+...+x_{n}w_{n}}{w_{1}+w_{2}+...+w_{n}}$ 叫做这 n 个数的加权平均数（weighted mean）。2、中位数与众数中位数（median）：一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的~。众数（mode）：一组数据中出现次数最多的那个数据。平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量。3、从统计图分析数据的集中趋势4、数据的离散程度极差：一组数据中最大数据与最小数据的差方差（variance）：各个数据与平均数差的平方的平均数，即 $S^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}]$ ，其中，$\bar{x}$ 是 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 的平均数，$S^{2}$ 是方差，而标准差（standard deviation）就是方差的算术平方根。一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。七 平行线的证明1、为什么要证明2、定义与命题定义（definition）：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定命题（statement）：判断一件事情的句子一般地，每个命题都由条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果......那么......”的形式。真命题（true statement）：正确的命题假命题（false statement）：不正确的命题，常用“反例（counter example）”证明公理（axiom）：公认的真命题证明（proof）：演绎推理的过程定理（theorem）：经过证明的真命题。每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。定理：同角（等角）的补角相等。定理：同角（等角）的余角相等。定理：三角形的任意两边之和大于第三边。符号：“ $\because$ ”读作“因为”，“ $\therefore$ ”读作“所以”。定理：对顶角相等。3、平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。定理：同旁内角互补，两直线平行。4、平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等。定理：两直线平行，内错角相等。定理：两直线平行，同旁内角互补。定理：平行于同一条直线的两条直线平行。5、三角形内角和定理定理：三角形的内角和等于180°。定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。推论可以当作定理使用。综合与实践计算器运用与功能探索哪一款手机资费套餐更合适哪个城市夏天更热
一 整式的乘除1、同底数幂的乘法$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ （m，n 都是正整数）。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、幂的乘方与积的乘方球的体积公式：$V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ （r 是球的半径）$(a^{m})^{n}=a^{mn}$ （m，n 都是正整数）。幂的乘方，底数不变，指数相乘。$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ （n是正整数）。积的乘方等于乘方的积。3、同底数幂的除法$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ （$a \neq 0$，m，n 都是正整数，且 m > n ）。同底数幂相除，底数不变，指数相减。$a^{0}= 1$ （$a \neq 0$）；$\large a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$ （$a \neq 0$，p 是正整数）。微米： 1μm = 0.000 001m = $1\times 10^{-6}m$纳米：1nm 为十亿分之一米，即 $10^{-9}m$。4、整式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。5、平方差公式$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$。两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。6、完全平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$杨辉三角/贾宪三角/帕斯卡三角形7、整式的除法单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。二 相交线与平行线1、两条直线的位置关系相交线（intersection lines）：两条直线只有一个公共点平行线（parallel lines）：在同一平面内，不相交的两条直线对顶角（vertical angles）相等补角（supplementary angle）：两个角的和是180°余角（complementary angle）：两个角的和是90°同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。垂直（perpendicular）：两条线相交成四个角，如果有一个角是直角。垂线、垂足，记作$AB\perp CD$。平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。2、探索直线平行的条件两条直线被第三条直线所截，如果同位角（corresponding angles）相等，那么这两条直线平行。简称为：同位角相等，两直线平行。记作 AB // CD。过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。平行于同一条直线的两条直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称为：内错角相等，两直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称为：同旁内角互补，两直线平行。3、平行线的性质两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简称为：两直线平行，同位角相等。两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简称为：两直线平行，内错角相等。两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称为：两直线平行，同旁内角互补。测量地球的周长4、用尺规作角三 变量之间的关系1、用表格表示的变量（variable）间关系自变量（independent variable）、因变量（dependent variable）、常量（constant）2、用关系式表示的变量间关系3、用图象表示的变量间关系四 三角形1、认识三角形三角形（triangle）记作 $\bigtriangleup ABC$三角形三个内角的和等于180°。按三角形内角大小分：锐角三角形（acute triangle）、直角三角形（right triangle）、钝角三角形（obtuse triangle）直角三角形直角所对的边称为斜边（hypotenuse），夹直角的两条边称为直角边（leg）。直角三角形（$Rt\bigtriangleup ABC$）的两个锐角互余。三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。三角形的中线（median）：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段。三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。三角形的三条角平分线交于一点。三角形的高线（height）：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，简称三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。2、图形的全等全等图形（congruent figures）：能够完全重合的两个图形。全等图形的形状和大小都相同。全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做~。全等三角形的对应边相等，对应角相等。记作$\bigtriangleup ABC\cong\bigtriangleup DEF$3、探索三角形全等的条件三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。4、用尺规作三角形5、利用三角形全等测距离五 生活中的轴对称1、轴对称现象轴对称图形（a figure has reflectional symmetry）：一个平面图形沿一条直线折叠后，直线（对称轴 axis of symmetry）两旁的部分能够互相重合2、探索轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。3、简单的轴对称图形等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。等腰三角形的两个底角相等。线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。垂直平分线（中垂线 perpendicular bisector）：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线。线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。尺规作图。角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。4、利用轴对称进行设计六 概率初步1、感受可能性必然事件、不可能事件、随机事件一般地，随机事件发生的可能性是有大有小的。2、频率的稳定性在 n 次重复试验中，事件A发生了 m 次，则比值 $m\over n$ 称为事件A发生的频率。概率（probability）：刻画事件A发生的可能性大小的数值，记为P(A)。一般地，大量重复的试验中，我们常用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率。必然事件发生的概率为 1；不可能事件发生的概率为 0；随机事件A发生的概率P(A)是 0 与 1 之间的一个常数。3、等可能事件的概率一般地，如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件A包含其中的 m 种结果，那么事件A发生的概率为：$P(A)=m\over n$。综合与实践设计自己的运算程序七巧板
一 丰富的图形世界1、生活中的立体图形圆柱（circular cylinder）、圆锥（circular cone）、正方体（cube）、长方体（cuboid）、棱柱（prism）、直棱柱、球（sphere）棱（edge）：在棱柱中，相邻两个面的交线侧棱：相邻两个侧面的交线图形是由点（point）、线（line）、面（plane）构成的。面与面相交得到线，线与线相交得到点。点动成线、线动成面、面动成体（旋转体）2、展开与折叠几何体的展开3、截一个几何体截面（section）：截面的形状4、从三个方向看物体的形状正面、左面和上面二 有理数及其运算1、有理数整数（integer）：正整数、零、负整数分数（fraction）：正分数、负分数整数与分数统称为有理数（rational number）。2、数轴数轴（number line）三要素：原点（origin）、单位长度（unit length）、正方向positive direction（向右）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数。3、绝对值相反数（opposite number）：两个数只有符号不同（0 的相反数是 0），在原点的两侧，与原点距离相等。绝对值（absolute value）：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。4、有理数的加法形象计算法：用 1 个 $\oplus$ 表示 +1，用 1 个 $ \ominus $ 表示 -1。加法（addition）法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同 0 相加，仍得这个数。加法交换律（commutative property of addition）、加法结合律（associative property of addition）5、有理数的减法减法（subtraction）法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。6、有理数的加减混合运算7、有理数的乘法乘法（multiplication）法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，积仍为 0。倒数（dào shù）：两个有理数的乘积为 1，这两个数有理数互为倒数。乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律（distributive property of multiplication）8、有理数的除法两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0 的数都得 0 。注意：0 不能做除数。除以一个数等于乘这个数的倒数。9、有理数的乘方乘方（power）：求 n 个相同因数 a 的积的运算。乘方的结果叫做幂，a 叫做底数（base number），n 叫做指数（exponent）。$a^{n}$ 读作“ a 的 n 次幂”或“ a 的 n 次方”薄纸对折、拉面对折、棋盘摆米10、科学记数法科学记数法（scientific notation）：一个大于 10 的数可以表示成 $a\times 10^{n}$ 的形式，其中 $1\leqslant a < 10$，n 是正整数。11、有理数的混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。24点游戏：J=11 Q=12 K=13，去掉大小王，红色为负，黑色为正。12、用计算器进行计算近似数：按照所需精确度进行四舍五入、进一法或去尾法。三 整式及其加减1、字母表示数字母可以表示任何数。2、代数式代数式（algebraic expression）：用运算符号把数和字母连接而成的式子。单独一个数或一个字母也是代数式。用具体数值代替代数式中的字母，就可以求出代数式的值。3、整式单项式（monomial）：数与字母的乘积。单独一个数或一个字母也是单项式。多项式（polynomial）：几个单项式的和。整式（integral expression）：单项式和多项式统称整式。单项式的系数（coefficient）：单项式中的数字因数。单项式的次数（degree of monomial）：所有字母的指数和。多项式的项（term）：在多项式中，每个多项式叫做~。多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数。4、整式的加减同类项（like terms）：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项（unite like terms）：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。去括号：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。5、探索与表达规律四 基本平面图形1、线段、射线、直线线段（segment）有两个端点；射线（ray）有一个端点；直线（line）没有端点。经过两点有且只有一条直线。2、比较线段的长短两点之间的所有连线中，线段最短。（两点之间线段最短）两点之间的距离（distance）：两点之间线段的长度。线段长短的比较：AB = CD; AB > CD; AB < CD，尺规作图比较中点（midpoint）：线段的中点3、角角（angle）：由两条具有公共端点（顶点vertex）的射线组成，例如∠ABC、∠A、∠11 平角（straight angle） = 180°；1 周角（round angle） = 360°1° 的 $\frac{1}{60}$ 为 1 分，记作 1'，即 1° = 60'。1' 的 $\frac{1}{60}$ 为 1 秒，记作 1''，即 1' = 60"。4、角的比较角的平分线（angle bisector）：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做~。5、多边形和圆的初步认识多边形（polygon）：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。多边形的内角：简称多边形的角多边形的对角线（diagonal）：连接不相邻两个顶点的线段正多边形：各边相等，各角也相等的多边形。圆（circle）：圆心（center of a circle）、半径（radius）圆弧：圆上任意两点间的部分，简称弧（arc），记作 $\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$，读作“圆弧AB”或“弧AB”。扇形（sector）：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形圆心角（central angle）：顶点在圆心的角五 一元一次方程1、认识一元一次方程一元一次方程（linear equation with one unknown）：只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是 1。方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做~。等式的基本性质：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。2、求解一元一次方程移项（transposition of terms）：移项要变号解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等步骤，把一个一元一次方程“转化”成 x=a 的形式。3、应用一元一次方程 ── 水箱变高了4、应用一元一次方程 ── 打折销售利润率 = 利润/成本 x 100% = （售价-成本）/成本 X 100%5、应用一元一次方程 ── “希望工程”义演6、应用一元一次方程 ── 追赶小明六 数据的收集与整理1、数据的收集设计调查问卷：答案要互斥、答案要穷尽。2、普查和抽样调查普查：获取总体情况抽样调查：从总体中抽取部分个体（样本）进行调查，注意样本的代表性和广泛性。3、数据的表示扇形统计图频数直方图4、统计图的选择条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目折线统计图能清楚地反映事物的变化情况扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。综合与实践三阶幻方关注人口老龄化制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子