一　勾股定理

1、探索勾股定理

• 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

2、一定是直角三角形吗

• 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形。
• 勾股数：满足 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 的三个正整数

3、勾股定理的应用

• 蚂蚁爬圆柱

二　实数

1、认识无理数

• 无理数（irrational number）：无限不循环小数

2、平方根

• 算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 $x^{2}=a$，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作 $\sqrt{a}$，读作“根号 a”。
• 我们规定：0 的算术平方根是 0，即$\sqrt{0}=0$。
• 平方根（二次方根 square root）：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 $x^{2}=a$，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根。
• 一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。
• 正数 a 有两个平方根，分别是 $\sqrt{a}$ 与 $-\sqrt{a}$，它们互为相反数，合起来记作 $\pm\sqrt{a}$，读作“正、负根号 a”。
• 开平方（extraction of square root）：求一个数 a 的平方根的运算，a 叫做被开方数。

3、立方根

• 立方根（三次方根 cube root）：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 $x^{3}=a$，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根。
• 每个数 a 都有一个立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$，读作“三次根号 a”。
• 正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。
• 开立方（extraction of cubic root）：求一个数 a 的立方根的运算，a 叫做被开方数。

4、估算
5、用计算器开方
6、实数

• 实数（real number）可以分为有理数和无理数，也可以分为正实数、0、负实数。
• 实数和数轴上的点是一一对应的。

7、二次根式

• 二次根式：一般地，形如 $\sqrt{a} (a\geqslant 0)$ 的式子叫做~，a 叫做被开方数。
• $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} (a\geqslant 0,b\geqslant 0)$，$\sqrt{a\over b}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geqslant 0,b > 0)$。
• 积的算术平方根，等于算术平方根的积；商的算术平方根，等于算术平方根的商。
• 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式。
• 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
• $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geqslant 0,b\geqslant 0)$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{a\over b}(a\geqslant 0,b > 0)$。

三　位置与坐标

1、确定位置

• 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。

2、平面直角坐标系

• 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系（rectangular coordinates system）。
• 右上方的部分叫做第一象限，逆时针方向依次叫做第二象限...。坐标轴上的点不在任何一个象限内。
  在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。

3、轴对称与坐标变化

• 关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。

四　一次函数

1、函数

• 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数（function），其中 x 是自变量。
• 表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图像法。
• 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。

2、一次函数与正比例函数

• 若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成 y = kx + b（k，b为常熟，$k\neq 0$）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（linear function）。特别地，当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数。

3、一次函数的图象（graph）

• 正比例函数 y = kx 的图象是一条经过原点（0，0）的直线。
• 在正比例函数 y = kx 中，当 k > 0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；当 k < 0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小。
• 一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线。
• 一次函数 y = kx + b 的图象经过点（0，b）。当 k > 0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；当 k < 0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小。

4、一次函数的应用

五　二元一次方程组

1、认识二元一次方程组

• 二元一次方程（linear equation with two unknowns）：含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是 1 的方程
• 二元一次方程组（system of linear equation with two unknowns）：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程
• 二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值
• 二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解

2、求解二元一次方程组

• 代入消元法、加减消元法、顺序消元法

3、应用二元一次方程组 - 鸡兔同笼
4、应用二元一次方程组 - 增收节支
5、应用二元一次方程组 - 里程碑上的数
6、二元一次方程与一次函数

• 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线。
• 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。

7、用二元一次方程组确定一次函数表达式

• 图象法可比较直观地获得问题的结果，但有时结果不准确；可用代数方法。
• 待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法。

*8、三元一次方程组

• 三元一次方程（linear equation with three unknowns）：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1
• 三元一次方程组（system of linear equation with three unknowns）：含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程
• 三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解
• 解三元一次方程组的基本思路是『消元』。

六　数据的分析

1、平均数

• 算术平均数（平均数 mean）：一般地，对于 n 个数 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$，我们把 $\frac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})$ 叫做这 n 个数的~，记为 $\bar{x}$。
• 若 n 个数 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 的权分别是 $w_{1},w_{2},...,w_{n}$ ，那么 $\frac{x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+...+x_{n}w_{n}}{w_{1}+w_{2}+...+w_{n}}$ 叫做这 n 个数的加权平均数（weighted mean）。

2、中位数与众数

• 中位数（median）：一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的~。
• 众数（mode）：一组数据中出现次数最多的那个数据。
• 平均数、中位数和众数都是描述数据集中趋势的统计量。

3、从统计图分析数据的集中趋势
4、数据的离散程度

• 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差
• 方差（variance）：各个数据与平均数差的平方的平均数，即 $S^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}]$ ，其中，$\bar{x}$ 是 $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ 的平均数，$S^{2}$ 是方差，而标准差（standard deviation）就是方差的算术平方根。
• 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。

七　平行线的证明

1、为什么要证明
2、定义与命题

• 定义（definition）：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定
• 命题（statement）：判断一件事情的句子
• 一般地，每个命题都由条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果......那么......”的形式。
• 真命题（true statement）：正确的命题
• 假命题（false statement）：不正确的命题，常用“反例（counter example）”证明
• 公理（axiom）：公认的真命题
• 证明（proof）：演绎推理的过程
• 定理（theorem）：经过证明的真命题。每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。
• 数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据。
• 定理：同角（等角）的补角相等。
• 定理：同角（等角）的余角相等。
• 定理：三角形的任意两边之和大于第三边。
• 符号：“ $\because$ ”读作“因为”，“ $\therefore$ ”读作“所以”。
• 定理：对顶角相等。

3、平行线的判定

• 定理：内错角相等，两直线平行。
• 定理：同旁内角互补，两直线平行。

4、平行线的性质

• 定理：两直线平行，同位角相等。
• 定理：两直线平行，内错角相等。
• 定理：两直线平行，同旁内角互补。
• 定理：平行于同一条直线的两条直线平行。

5、三角形内角和定理

• 定理：三角形的内角和等于180°。
• 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
• 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
• 推论可以当作定理使用。

综合与实践

• 计算器运用与功能探索
• 哪一款手机资费套餐更合适
• 哪个城市夏天更热