一　三角形的证明

1、等腰三角形

• 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）
• 全等三角形的对应边相等、对应角相等。
• 定理：等腰三角形的两底角相等，简述为：等边对等角。
• 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
• 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。
• 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等角对等边。
• 反证法（reduction absurdity）：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
• 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
• 定理：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。
• 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形

• 定理：直角三角形的两个锐角互余。
• 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
• 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
• 定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平法，那么这个三角形是直角三角形。
• 互逆命题：在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件。
• 逆定理：一个定理的逆命题经过证明是真命题
• 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“ HL ”。

3、线段的垂直平分线

• 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
• 定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4、角平分线

• 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
• 定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角度平分线上。

二　一元一次不等式与一元一次不等式组

1、不等关系

• 不等式（inequality）：一般地，用符号"<"（或“$\leqslant$”），“>”（或“$\geqslant$”）连接的式子叫做~

2、不等式的基本性质

• 性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。
• 性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
• 性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

3、不等式的解集

• 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值
• 不等式的解集（solution set）：一个含有未知数的不等式的所有解
• 解不等式：求不等式解集的过程
• 不等式解集的数轴表示：空心圆圈不包含、实心圆圈包含

4、一元一次不等式

• 一元一次不等式（linear inequality with one unknown）：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1

5、一元一次不等式与一次函数

• 通过图象观察不等式的取值范围
• 一元一次不等式描述了问题中两个变量满足某些特定条件时的状态

6、一元一次不等式组

• 一元一次不等式组（system of linear inequalities with one unknown）：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ~。
• 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分
• 解不等式组：求不等式组解集的过程

三　图形的平移与旋转

1、图形的平移

• 平移（translation）：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。平移不改变图形的形状和大小。
• 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等。
• 一个图形依次沿 x 轴方向、y 轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的。

2、图形的旋转

• 旋转（rotation）：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度。这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。旋转不改变图形的形状和大小。
• 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

3、中心对称

• 中心对称（central symmetry）：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或~，这个点叫做它们的对称中心（centre of symmetry）。
• 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。
• 中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合，这个点叫做它的对称中心。

4、简单的图案设计

四　因式分解

1、因式分解

• 因式分解（factorization）：把一个多项式化成几个整式的积的形式

2、提公因式法

• 公因式（common factor）：多项式各项都含有的相同因式
• 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做~。
• 负号要提出来

3、公式法

• $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
• $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$，$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

五　分式与分式方程

1、认识分式

• 分式（fraction）：一般地，用 A，B 表示两个整式，A$\div$B 可以表示成 $A\over B$ 的形式。如果 B 中含有字母，那么称 $A\over B$ 为~，其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。
• 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
• 约分（reduction of a fraction）：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的~。
• 最简分式：分子和分母没有公因式的分式

2、分式的乘除法

• 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

3、分式的加减法

• 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
• 通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程称为分式的~。
• 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

4、分式方程

• 分式方程（fractional equation）：分母中含有未知数的方程
• 增根：使分式方程的分母为零的根
• 解分式方程必须检验，通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零。

六　平行四边形

1、平行四边形的性质

• 平行四边形（parallelogram）：两组对边分别平行的四边形
• 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
• 定理：平行四边形的对边相等。
• 定理：平行四边形的对角相等。
• 定理：平行四边形的对角线互相平分。

2、平行四边形的判定

• 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
• 定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
• 定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
• 平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为~。

3、三角形的中位线

• 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段
• 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

4、多边形的内角和与外角和

• 定理：n 边形的内角和等于 $(n-2)\cdot 180°$。
• 外角（exterior angle）：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角。
• 定理：多边形的外角和都等于 360°。

综合实践

• 生活中的“一次模型”
• 平面图形的镶嵌（密铺）